Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58045 / 81768
↖ ↑ ↗
← S 40.663973°
W 20.574646°		 ← 231.68 m → S 40.663973°
W 20.571900°		 →
↑
231.71 m
↓
↑
231.71 m
↓
S 40.666057°
W 20.574646°		 ← 231.67 m →
53 682 m²		 S 40.666057°
W 20.571900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442852020263672 y=0.623844146728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442852020263672 × 217)
    floor (0.442852020263672 × 131072)
    floor (58045.5)     		tx = 58045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623844146728516 × 217)
    floor (0.623844146728516 × 131072)
    floor (81768.5)     		ty = 81768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58045 / 81768 ti = "17/58045/81768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58045/81768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58045 ÷ 217
    58045 ÷ 131072     		x = 0.442848205566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81768 ÷ 217
    81768 ÷ 131072     		y = 0.62384033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442848205566406 × 2 - 1) × π
    -0.114303588867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.35909532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62384033203125 × 2 - 1) × π
    -0.2476806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.778111754632752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35909532} λ = -0.35909532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.778111754632752))-π/2
    2×atan(0.459272412063571)-π/2
    2×0.430538056588573-π/2
    0.861076113177146-1.57079632675     		φ = -0.70972021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35909532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.574646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70972021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.663973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58045 KachelY 81768 -0.35909532 -0.70972021 -20.574646 -40.663973
    Oben rechts KachelX + 1 58046 KachelY 81768 -0.35904738 -0.70972021 -20.571900 -40.663973
    Unten links KachelX 58045 KachelY + 1 81769 -0.35909532 -0.70975658 -20.574646 -40.666057
    Unten rechts KachelX + 1 58046 KachelY + 1 81769 -0.35904738 -0.70975658 -20.571900 -40.666057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70972021--0.70975658) × R
    3.63700000000078e-05 × 6371000     		dl = 231.71327000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70972021--0.70975658) × R
    3.63700000000078e-05 × 6371000     		dr = 231.71327000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35909532--0.35904738) × cos(-0.70972021) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.758544222875712 × 6371000     		do = 231.678930594387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35909532--0.35904738) × cos(-0.70975658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.758520522897763 × 6371000     		du = 231.671692011084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70972021)-sin(-0.70975658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758544222875712-0.758520522897763)×R²
    abs(-0.35904738--0.35909532)×2.36999779494873e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36999779494873e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36999779494873e-05×40589641000000     		ar = 53682.2439662228m²