Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58045 / 81739
↖ ↑ ↗
← S 40.603527°
W 20.574646°		 ← 231.89 m → S 40.603527°
W 20.571900°		 →
↑
231.90 m
↓
↑
231.90 m
↓
S 40.605612°
W 20.574646°		 ← 231.88 m →
53 775 m²		 S 40.605612°
W 20.571900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442852020263672 y=0.623622894287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442852020263672 × 217)
    floor (0.442852020263672 × 131072)
    floor (58045.5)     		tx = 58045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623622894287109 × 217)
    floor (0.623622894287109 × 131072)
    floor (81739.5)     		ty = 81739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58045 / 81739 ti = "17/58045/81739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58045/81739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58045 ÷ 217
    58045 ÷ 131072     		x = 0.442848205566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81739 ÷ 217
    81739 ÷ 131072     		y = 0.623619079589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442848205566406 × 2 - 1) × π
    -0.114303588867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.35909532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623619079589844 × 2 - 1) × π
    -0.247238159179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.77672158454377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35909532} λ = -0.35909532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.77672158454377))-π/2
    2×atan(0.459911322827939)-π/2
    2×0.431065548115993-π/2
    0.862131096231986-1.57079632675     		φ = -0.70866523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35909532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.574646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70866523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.603527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58045 KachelY 81739 -0.35909532 -0.70866523 -20.574646 -40.603527
    Oben rechts KachelX + 1 58046 KachelY 81739 -0.35904738 -0.70866523 -20.571900 -40.603527
    Unten links KachelX 58045 KachelY + 1 81740 -0.35909532 -0.70870163 -20.574646 -40.605612
    Unten rechts KachelX + 1 58046 KachelY + 1 81740 -0.35904738 -0.70870163 -20.571900 -40.605612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70866523--0.70870163) × R
    3.63999999999365e-05 × 6371000     		dl = 231.904399999595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70866523--0.70870163) × R
    3.63999999999365e-05 × 6371000     		dr = 231.904399999595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35909532--0.35904738) × cos(-0.70866523) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.759231248341895 × 6371000     		do = 231.888765855795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35909532--0.35904738) × cos(-0.70870163) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.759207557956272 × 6371000     		du = 231.881530202235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70866523)-sin(-0.70870163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759231248341895-0.759207557956272)×R²
    abs(-0.35904738--0.35909532)×2.36903856224435e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36903856224435e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36903856224435e-05×40589641000000     		ar = 53775.186128381m²