Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58044 / 28297
↖ ↑ ↗
← N 70.951632°
W 20.577392°		 ← 99.66 m → N 70.951632°
W 20.574646°		 →
↑
99.71 m
↓
↑
99.71 m
↓
N 70.950735°
W 20.577392°		 ← 99.66 m →
9 937 m²		 N 70.950735°
W 20.574646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442844390869141 y=0.215892791748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442844390869141 × 217)
    floor (0.442844390869141 × 131072)
    floor (58044.5)     		tx = 58044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215892791748047 × 217)
    floor (0.215892791748047 × 131072)
    floor (28297.5)     		ty = 28297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58044 / 28297 ti = "17/58044/28297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58044/28297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58044 ÷ 217
    58044 ÷ 131072     		x = 0.442840576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28297 ÷ 217
    28297 ÷ 131072     		y = 0.215888977050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442840576171875 × 2 - 1) × π
    -0.11431884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35914325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215888977050781 × 2 - 1) × π
    0.568222045898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.78512220495127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35914325} λ = -0.35914325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78512220495127))-π/2
    2×atan(5.96030828226182)-π/2
    2×1.40456795119736-π/2
    2.80913590239471-1.57079632675     		φ = 1.23833958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35914325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.577392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23833958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.951632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58044 KachelY 28297 -0.35914325 1.23833958 -20.577392 70.951632
    Oben rechts KachelX + 1 58045 KachelY 28297 -0.35909532 1.23833958 -20.574646 70.951632
    Unten links KachelX 58044 KachelY + 1 28298 -0.35914325 1.23832393 -20.577392 70.950735
    Unten rechts KachelX + 1 58045 KachelY + 1 28298 -0.35909532 1.23832393 -20.574646 70.950735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23833958-1.23832393) × R
    1.56500000001447e-05 × 6371000     		dl = 99.706150000922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23833958-1.23832393) × R
    1.56500000001447e-05 × 6371000     		dr = 99.706150000922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35914325--0.35909532) × cos(1.23833958) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.326366234654851 × 6371000     		do = 99.6598559377227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35914325--0.35909532) × cos(1.23832393) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.326381027674057 × 6371000     		du = 99.6643731640973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23833958)-sin(1.23832393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326366234654851-0.326381027674057)×R²
    abs(-0.35909532--0.35914325)×1.47930192061496e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.47930192061496e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.47930192061496e-05×40589641000000     		ar = 9936.92574301569m²