Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58042 / 81769
↖ ↑ ↗
← S 40.666057°
W 20.582886°		 ← 231.67 m → S 40.666057°
W 20.580139°		 →
↑
231.65 m
↓
↑
231.65 m
↓
S 40.668140°
W 20.582886°		 ← 231.66 m →
53 666 m²		 S 40.668140°
W 20.580139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442829132080078 y=0.623851776123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442829132080078 × 217)
    floor (0.442829132080078 × 131072)
    floor (58042.5)     		tx = 58042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623851776123047 × 217)
    floor (0.623851776123047 × 131072)
    floor (81769.5)     		ty = 81769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58042 / 81769 ti = "17/58042/81769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58042/81769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58042 ÷ 217
    58042 ÷ 131072     		x = 0.442825317382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81769 ÷ 217
    81769 ÷ 131072     		y = 0.623847961425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442825317382812 × 2 - 1) × π
    -0.114349365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35923913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623847961425781 × 2 - 1) × π
    -0.247695922851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.778159691532372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35923913} λ = -0.35923913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.778159691532372))-π/2
    2×atan(0.459250396495739)-π/2
    2×0.430519875743456-π/2
    0.861039751486911-1.57079632675     		φ = -0.70975658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35923913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.582886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70975658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.666057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58042 KachelY 81769 -0.35923913 -0.70975658 -20.582886 -40.666057
    Oben rechts KachelX + 1 58043 KachelY 81769 -0.35919119 -0.70975658 -20.580139 -40.666057
    Unten links KachelX 58042 KachelY + 1 81770 -0.35923913 -0.70979294 -20.582886 -40.668140
    Unten rechts KachelX + 1 58043 KachelY + 1 81770 -0.35919119 -0.70979294 -20.580139 -40.668140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70975658--0.70979294) × R
    3.63600000000686e-05 × 6371000     		dl = 231.649560000437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70975658--0.70979294) × R
    3.63600000000686e-05 × 6371000     		dr = 231.649560000437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35923913--0.35919119) × cos(-0.70975658) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.758520522897763 × 6371000     		do = 231.671692011353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35923913--0.35919119) × cos(-0.70979294) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.758496828433227 × 6371000     		du = 231.664455111988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70975658)-sin(-0.70979294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758520522897763-0.758496828433227)×R²
    abs(-0.35919119--0.35923913)×2.36944645356507e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36944645356507e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36944645356507e-05×40589641000000     		ar = 53665.8073126103m²