Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58039 / 28332
↖ ↑ ↗
← N 70.920233°
W 20.591126°		 ← 99.84 m → N 70.920233°
W 20.588379°		 →
↑
99.83 m
↓
↑
99.83 m
↓
N 70.919335°
W 20.591126°		 ← 99.84 m →
9 967 m²		 N 70.919335°
W 20.588379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442806243896484 y=0.216159820556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442806243896484 × 217)
    floor (0.442806243896484 × 131072)
    floor (58039.5)     		tx = 58039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216159820556641 × 217)
    floor (0.216159820556641 × 131072)
    floor (28332.5)     		ty = 28332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58039 / 28332 ti = "17/58039/28332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58039/28332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58039 ÷ 217
    58039 ÷ 131072     		x = 0.442802429199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28332 ÷ 217
    28332 ÷ 131072     		y = 0.216156005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442802429199219 × 2 - 1) × π
    -0.114395141601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.35938294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216156005859375 × 2 - 1) × π
    0.56768798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78344441346457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35938294} λ = -0.35938294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78344441346457))-π/2
    2×atan(5.95031651216502)-π/2
    2×1.40429394674522-π/2
    2.80858789349044-1.57079632675     		φ = 1.23779157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35938294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.591126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23779157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.920233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58039 KachelY 28332 -0.35938294 1.23779157 -20.591126 70.920233
    Oben rechts KachelX + 1 58040 KachelY 28332 -0.35933500 1.23779157 -20.588379 70.920233
    Unten links KachelX 58039 KachelY + 1 28333 -0.35938294 1.23777590 -20.591126 70.919335
    Unten rechts KachelX + 1 58040 KachelY + 1 28333 -0.35933500 1.23777590 -20.588379 70.919335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23779157-1.23777590) × R
    1.56700000000232e-05 × 6371000     		dl = 99.8335700001476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23779157-1.23777590) × R
    1.56700000000232e-05 × 6371000     		dr = 99.8335700001476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35938294--0.35933500) × cos(1.23779157) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.326884188456962 × 6371000     		do = 99.8388451537016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35938294--0.35933500) × cos(1.23777590) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.326898997576036 × 6371000     		du = 99.8433682398535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23779157)-sin(1.23777590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326884188456962-0.326898997576036)×R²
    abs(-0.35933500--0.35938294)×1.48091190739774e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48091190739774e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48091190739774e-05×40589641000000     		ar = 9967.49411457125m²