Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58038 / 86739
↖ ↑ ↗
← S 50.210307°
W 20.593872°		 ← 195.42 m → S 50.210307°
W 20.591126°		 →
↑
195.46 m
↓
↑
195.46 m
↓
S 50.212065°
W 20.593872°		 ← 195.42 m →
38 197 m²		 S 50.212065°
W 20.591126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442798614501953 y=0.661769866943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442798614501953 × 217)
    floor (0.442798614501953 × 131072)
    floor (58038.5)     		tx = 58038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661769866943359 × 217)
    floor (0.661769866943359 × 131072)
    floor (86739.5)     		ty = 86739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58038 / 86739 ti = "17/58038/86739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58038/86739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58038 ÷ 217
    58038 ÷ 131072     		x = 0.442794799804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86739 ÷ 217
    86739 ÷ 131072     		y = 0.661766052246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442794799804688 × 2 - 1) × π
    -0.114410400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35943087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661766052246094 × 2 - 1) × π
    -0.323532104492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.01640608264405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35943087} λ = -0.35943087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01640608264405))-π/2
    2×atan(0.361893220145088)-π/2
    2×0.347230577717639-π/2
    0.694461155435278-1.57079632675     		φ = -0.87633517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35943087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.593872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87633517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.210307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58038 KachelY 86739 -0.35943087 -0.87633517 -20.593872 -50.210307
    Oben rechts KachelX + 1 58039 KachelY 86739 -0.35938294 -0.87633517 -20.591126 -50.210307
    Unten links KachelX 58038 KachelY + 1 86740 -0.35943087 -0.87636585 -20.593872 -50.212065
    Unten rechts KachelX + 1 58039 KachelY + 1 86740 -0.35938294 -0.87636585 -20.591126 -50.212065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87633517--0.87636585) × R
    3.06799999999496e-05 × 6371000     		dl = 195.462279999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87633517--0.87636585) × R
    3.06799999999496e-05 × 6371000     		dr = 195.462279999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35943087--0.35938294) × cos(-0.87633517) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639971486064215 × 6371000     		do = 195.422992126805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35943087--0.35938294) × cos(-0.87636585) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639947911292213 × 6371000     		du = 195.41579328657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87633517)-sin(-0.87636585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639971486064215-0.639947911292213)×R²
    abs(-0.35938294--0.35943087)×2.35747720024326e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35747720024326e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35747720024326e-05×40589641000000     		ar = 38197.1200576366m²