Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58036 / 86231
↖ ↑ ↗
← S 49.309008°
W 20.599365°		 ← 199.13 m → S 49.309008°
W 20.596619°		 →
↑
199.16 m
↓
↑
199.16 m
↓
S 49.310799°
W 20.599365°		 ← 199.12 m →
39 658 m²		 S 49.310799°
W 20.596619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442783355712891 y=0.657894134521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442783355712891 × 217)
    floor (0.442783355712891 × 131072)
    floor (58036.5)     		tx = 58036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657894134521484 × 217)
    floor (0.657894134521484 × 131072)
    floor (86231.5)     		ty = 86231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58036 / 86231 ti = "17/58036/86231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58036/86231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58036 ÷ 217
    58036 ÷ 131072     		x = 0.442779541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86231 ÷ 217
    86231 ÷ 131072     		y = 0.657890319824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442779541015625 × 2 - 1) × π
    -0.11444091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35952675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657890319824219 × 2 - 1) × π
    -0.315780639648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.992054137637062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35952675} λ = -0.35952675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.992054137637062))-π/2
    2×atan(0.370814204749945)-π/2
    2×0.355095891434142-π/2
    0.710191782868283-1.57079632675     		φ = -0.86060454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35952675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.599365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86060454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.309008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58036 KachelY 86231 -0.35952675 -0.86060454 -20.599365 -49.309008
    Oben rechts KachelX + 1 58037 KachelY 86231 -0.35947881 -0.86060454 -20.596619 -49.309008
    Unten links KachelX 58036 KachelY + 1 86232 -0.35952675 -0.86063580 -20.599365 -49.310799
    Unten rechts KachelX + 1 58037 KachelY + 1 86232 -0.35947881 -0.86063580 -20.596619 -49.310799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86060454--0.86063580) × R
    3.12599999999774e-05 × 6371000     		dl = 199.157459999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86060454--0.86063580) × R
    3.12599999999774e-05 × 6371000     		dr = 199.157459999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35952675--0.35947881) × cos(-0.86060454) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.651979202826281 × 6371000     		do = 199.131230487927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35952675--0.35947881) × cos(-0.86063580) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.651955500023835 × 6371000     		du = 199.12399104195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86060454)-sin(-0.86063580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651979202826281-0.651955500023835)×R²
    abs(-0.35947881--0.35952675)×2.370280244679e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.370280244679e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.370280244679e-05×40589641000000     		ar = 39657.749179077m²