Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58035 / 81759
↖ ↑ ↗
← S 40.645220°
W 20.602112°		 ← 231.70 m → S 40.645220°
W 20.599365°		 →
↑
231.71 m
↓
↑
231.71 m
↓
S 40.647304°
W 20.602112°		 ← 231.69 m →
53 686 m²		 S 40.647304°
W 20.599365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442775726318359 y=0.623775482177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442775726318359 × 217)
    floor (0.442775726318359 × 131072)
    floor (58035.5)     		tx = 58035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623775482177734 × 217)
    floor (0.623775482177734 × 131072)
    floor (81759.5)     		ty = 81759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58035 / 81759 ti = "17/58035/81759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58035/81759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58035 ÷ 217
    58035 ÷ 131072     		x = 0.442771911621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81759 ÷ 217
    81759 ÷ 131072     		y = 0.623771667480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442771911621094 × 2 - 1) × π
    -0.114456176757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.35957468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623771667480469 × 2 - 1) × π
    -0.247543334960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.777680322536171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35957468} λ = -0.35957468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.777680322536171))-π/2
    2×atan(0.459470599672383)-π/2
    2×0.430701709750222-π/2
    0.861403419500444-1.57079632675     		φ = -0.70939291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35957468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.602112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70939291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.645220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58035 KachelY 81759 -0.35957468 -0.70939291 -20.602112 -40.645220
    Oben rechts KachelX + 1 58036 KachelY 81759 -0.35952675 -0.70939291 -20.599365 -40.645220
    Unten links KachelX 58035 KachelY + 1 81760 -0.35957468 -0.70942928 -20.602112 -40.647304
    Unten rechts KachelX + 1 58036 KachelY + 1 81760 -0.35952675 -0.70942928 -20.599365 -40.647304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70939291--0.70942928) × R
    3.63700000000078e-05 × 6371000     		dl = 231.71327000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70939291--0.70942928) × R
    3.63700000000078e-05 × 6371000     		dr = 231.71327000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35957468--0.35952675) × cos(-0.70939291) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.758757457979984 × 6371000     		do = 231.695717646281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35957468--0.35952675) × cos(-0.70942928) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.758733767032798 × 6371000     		du = 231.688483330556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70939291)-sin(-0.70942928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758757457979984-0.758733767032798)×R²
    abs(-0.35952675--0.35957468)×2.36909471859059e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36909471859059e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36909471859059e-05×40589641000000     		ar = 53686.1342431853m²