Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58034 / 81762
↖ ↑ ↗
← S 40.651471°
W 20.604858°		 ← 231.72 m → S 40.651471°
W 20.602112°		 →
↑
231.71 m
↓
↑
231.71 m
↓
S 40.653555°
W 20.604858°		 ← 231.72 m →
53 692 m²		 S 40.653555°
W 20.602112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442768096923828 y=0.623798370361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442768096923828 × 217)
    floor (0.442768096923828 × 131072)
    floor (58034.5)     		tx = 58034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623798370361328 × 217)
    floor (0.623798370361328 × 131072)
    floor (81762.5)     		ty = 81762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58034 / 81762 ti = "17/58034/81762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58034/81762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58034 ÷ 217
    58034 ÷ 131072     		x = 0.442764282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81762 ÷ 217
    81762 ÷ 131072     		y = 0.623794555664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442764282226562 × 2 - 1) × π
    -0.114471435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35962262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623794555664062 × 2 - 1) × π
    -0.247589111328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.777824133235031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35962262} λ = -0.35962262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.777824133235031))-π/2
    2×atan(0.459404527635385)-π/2
    2×0.430647153585354-π/2
    0.861294307170707-1.57079632675     		φ = -0.70950202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35962262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.604858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70950202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.651471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58034 KachelY 81762 -0.35962262 -0.70950202 -20.604858 -40.651471
    Oben rechts KachelX + 1 58035 KachelY 81762 -0.35957468 -0.70950202 -20.602112 -40.651471
    Unten links KachelX 58034 KachelY + 1 81763 -0.35962262 -0.70953839 -20.604858 -40.653555
    Unten rechts KachelX + 1 58035 KachelY + 1 81763 -0.35957468 -0.70953839 -20.602112 -40.653555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70950202--0.70953839) × R
    3.63700000000078e-05 × 6371000     		dl = 231.71327000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70950202--0.70953839) × R
    3.63700000000078e-05 × 6371000     		dr = 231.71327000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35962262--0.35957468) × cos(-0.70950202) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.758686382127551 × 6371000     		do = 231.722349689346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35962262--0.35957468) × cos(-0.70953839) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.758662688169553 × 6371000     		du = 231.715112944691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70950202)-sin(-0.70953839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758686382127551-0.758662688169553)×R²
    abs(-0.35957468--0.35962262)×2.36939579983941e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36939579983941e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36939579983941e-05×40589641000000     		ar = 53692.3049598271m²