Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58033 / 28329
↖ ↑ ↗
← N 70.922926°
W 20.607605°		 ← 99.83 m → N 70.922926°
W 20.604858°		 →
↑
99.83 m
↓
↑
99.83 m
↓
N 70.922028°
W 20.607605°		 ← 99.83 m →
9 966 m²		 N 70.922028°
W 20.604858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442760467529297 y=0.216136932373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442760467529297 × 217)
    floor (0.442760467529297 × 131072)
    floor (58033.5)     		tx = 58033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216136932373047 × 217)
    floor (0.216136932373047 × 131072)
    floor (28329.5)     		ty = 28329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58033 / 28329 ti = "17/58033/28329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58033/28329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58033 ÷ 217
    58033 ÷ 131072     		x = 0.442756652832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28329 ÷ 217
    28329 ÷ 131072     		y = 0.216133117675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442756652832031 × 2 - 1) × π
    -0.114486694335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.35967056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216133117675781 × 2 - 1) × π
    0.567733764648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.78358822416343
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35967056} λ = -0.35967056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78358822416343))-π/2
    2×atan(5.95117229287481)-π/2
    2×1.40431744987003-π/2
    2.80863489974007-1.57079632675     		φ = 1.23783857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35967056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.607605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23783857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.922926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58033 KachelY 28329 -0.35967056 1.23783857 -20.607605 70.922926
    Oben rechts KachelX + 1 58034 KachelY 28329 -0.35962262 1.23783857 -20.604858 70.922926
    Unten links KachelX 58033 KachelY + 1 28330 -0.35967056 1.23782290 -20.607605 70.922028
    Unten rechts KachelX + 1 58034 KachelY + 1 28330 -0.35962262 1.23782290 -20.604858 70.922028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23783857-1.23782290) × R
    1.56700000000232e-05 × 6371000     		dl = 99.8335700001476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23783857-1.23782290) × R
    1.56700000000232e-05 × 6371000     		dr = 99.8335700001476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35967056--0.35962262) × cos(1.23783857) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.326839770068956 × 6371000     		do = 99.8252786346752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35967056--0.35962262) × cos(1.23782290) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.326854579428766 × 6371000     		du = 99.8298017943541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23783857)-sin(1.23782290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326839770068956-0.326854579428766)×R²
    abs(-0.35962262--0.35967056)×1.48093598100196e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48093598100196e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48093598100196e-05×40589641000000     		ar = 9966.1397242606m²