Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58032 / 81689
↖ ↑ ↗
← S 40.499181°
W 20.610351°		 ← 232.20 m → S 40.499181°
W 20.607605°		 →
↑
232.22 m
↓
↑
232.22 m
↓
S 40.501269°
W 20.610351°		 ← 232.19 m →
53 922 m²		 S 40.501269°
W 20.607605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442752838134766 y=0.623241424560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442752838134766 × 217)
    floor (0.442752838134766 × 131072)
    floor (58032.5)     		tx = 58032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623241424560547 × 217)
    floor (0.623241424560547 × 131072)
    floor (81689.5)     		ty = 81689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58032 / 81689 ti = "17/58032/81689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58032/81689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58032 ÷ 217
    58032 ÷ 131072     		x = 0.4427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81689 ÷ 217
    81689 ÷ 131072     		y = 0.623237609863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.114501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35971849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623237609863281 × 2 - 1) × π
    -0.246475219726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.774324739562767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35971849} λ = -0.35971849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.774324739562767))-π/2
    2×atan(0.461014981094289)-π/2
    2×0.431976137453505-π/2
    0.86395227490701-1.57079632675     		φ = -0.70684405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35971849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.610351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70684405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.499181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58032 KachelY 81689 -0.35971849 -0.70684405 -20.610351 -40.499181
    Oben rechts KachelX + 1 58033 KachelY 81689 -0.35967056 -0.70684405 -20.607605 -40.499181
    Unten links KachelX 58032 KachelY + 1 81690 -0.35971849 -0.70688050 -20.610351 -40.501269
    Unten rechts KachelX + 1 58033 KachelY + 1 81690 -0.35967056 -0.70688050 -20.607605 -40.501269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70684405--0.70688050) × R
    3.64500000000767e-05 × 6371000     		dl = 232.222950000489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70684405--0.70688050) × R
    3.64500000000767e-05 × 6371000     		dr = 232.222950000489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35971849--0.35967056) × cos(-0.70684405) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.760415250718537 × 6371000     		do = 232.201944602514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35971849--0.35967056) × cos(-0.70688050) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.760391578228307 × 6371000     		du = 232.194715922842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70684405)-sin(-0.70688050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760415250718537-0.760391578228307)×R²
    abs(-0.35967056--0.35971849)×2.36724902301644e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36724902301644e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36724902301644e-05×40589641000000     		ar = 53921.781244726m²