Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58031 / 86785
↖ ↑ ↗
← S 50.291094°
W 20.613098°		 ← 195.13 m → S 50.291094°
W 20.610351°		 →
↑
195.08 m
↓
↑
195.08 m
↓
S 50.292849°
W 20.613098°		 ← 195.13 m →
38 066 m²		 S 50.292849°
W 20.610351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442745208740234 y=0.662120819091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442745208740234 × 217)
    floor (0.442745208740234 × 131072)
    floor (58031.5)     		tx = 58031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662120819091797 × 217)
    floor (0.662120819091797 × 131072)
    floor (86785.5)     		ty = 86785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58031 / 86785 ti = "17/58031/86785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58031/86785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58031 ÷ 217
    58031 ÷ 131072     		x = 0.442741394042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86785 ÷ 217
    86785 ÷ 131072     		y = 0.662117004394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442741394042969 × 2 - 1) × π
    -0.114517211914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.35976643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662117004394531 × 2 - 1) × π
    -0.324234008789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.01861118002657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35976643} λ = -0.35976643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01861118002657))-π/2
    2×atan(0.361096089550888)-π/2
    2×0.346525575672529-π/2
    0.693051151345059-1.57079632675     		φ = -0.87774518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35976643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.613098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87774518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.291094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58031 KachelY 86785 -0.35976643 -0.87774518 -20.613098 -50.291094
    Oben rechts KachelX + 1 58032 KachelY 86785 -0.35971849 -0.87774518 -20.610351 -50.291094
    Unten links KachelX 58031 KachelY + 1 86786 -0.35976643 -0.87777580 -20.613098 -50.292849
    Unten rechts KachelX + 1 58032 KachelY + 1 86786 -0.35971849 -0.87777580 -20.610351 -50.292849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87774518--0.87777580) × R
    3.06199999999812e-05 × 6371000     		dl = 195.08001999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87774518--0.87777580) × R
    3.06199999999812e-05 × 6371000     		dr = 195.08001999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35976643--0.35971849) × cos(-0.87774518) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.638887400459423 × 6371000     		do = 195.132657062094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35976643--0.35971849) × cos(-0.87777580) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63886384418597 × 6371000     		du = 195.125462369843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87774518)-sin(-0.87777580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638887400459423-0.63886384418597)×R²
    abs(-0.35971849--0.35976643)×2.35562734529626e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35562734529626e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35562734529626e-05×40589641000000     		ar = 38065.7808750281m²