Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58031 / 86448
↖ ↑ ↗
← S 49.696062°
W 20.613098°		 ← 197.56 m → S 49.696062°
W 20.610351°		 →
↑
197.56 m
↓
↑
197.56 m
↓
S 49.697838°
W 20.613098°		 ← 197.56 m →
39 031 m²		 S 49.697838°
W 20.610351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442745208740234 y=0.659549713134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442745208740234 × 217)
    floor (0.442745208740234 × 131072)
    floor (58031.5)     		tx = 58031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659549713134766 × 217)
    floor (0.659549713134766 × 131072)
    floor (86448.5)     		ty = 86448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58031 / 86448 ti = "17/58031/86448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58031/86448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58031 ÷ 217
    58031 ÷ 131072     		x = 0.442741394042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86448 ÷ 217
    86448 ÷ 131072     		y = 0.6595458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442741394042969 × 2 - 1) × π
    -0.114517211914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.35976643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6595458984375 × 2 - 1) × π
    -0.319091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.00245644485461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35976643} λ = -0.35976643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00245644485461))-π/2
    2×atan(0.366976874617392)-π/2
    2×0.35171821139761-π/2
    0.703436422795219-1.57079632675     		φ = -0.86735990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35976643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.613098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86735990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.696062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58031 KachelY 86448 -0.35976643 -0.86735990 -20.613098 -49.696062
    Oben rechts KachelX + 1 58032 KachelY 86448 -0.35971849 -0.86735990 -20.610351 -49.696062
    Unten links KachelX 58031 KachelY + 1 86449 -0.35976643 -0.86739091 -20.613098 -49.697838
    Unten rechts KachelX + 1 58032 KachelY + 1 86449 -0.35971849 -0.86739091 -20.610351 -49.697838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86735990--0.86739091) × R
    3.10100000000535e-05 × 6371000     		dl = 197.564710000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86735990--0.86739091) × R
    3.10100000000535e-05 × 6371000     		dr = 197.564710000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35976643--0.35971849) × cos(-0.86735990) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.646842202461983 × 6371000     		do = 197.56225835028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35976643--0.35971849) × cos(-0.86739091) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.64681855318481 × 6371000     		du = 197.555035252299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86735990)-sin(-0.86739091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646842202461983-0.64681855318481)×R²
    abs(-0.35971849--0.35976643)×2.36492771729102e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36492771729102e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36492771729102e-05×40589641000000     		ar = 39030.6167664677m²