Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58030 / 86742
↖ ↑ ↗
← S 50.215580°
W 20.615845°		 ← 195.44 m → S 50.215580°
W 20.613098°		 →
↑
195.46 m
↓
↑
195.46 m
↓
S 50.217337°
W 20.615845°		 ← 195.43 m →
38 201 m²		 S 50.217337°
W 20.613098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442737579345703 y=0.661792755126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442737579345703 × 217)
    floor (0.442737579345703 × 131072)
    floor (58030.5)     		tx = 58030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661792755126953 × 217)
    floor (0.661792755126953 × 131072)
    floor (86742.5)     		ty = 86742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58030 / 86742 ti = "17/58030/86742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58030/86742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58030 ÷ 217
    58030 ÷ 131072     		x = 0.442733764648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86742 ÷ 217
    86742 ÷ 131072     		y = 0.661788940429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442733764648438 × 2 - 1) × π
    -0.114532470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35981437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661788940429688 × 2 - 1) × π
    -0.323577880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.01654989334291
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35981437} λ = -0.35981437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01654989334291))-π/2
    2×atan(0.361841179770257)-π/2
    2×0.347184562886906-π/2
    0.694369125773811-1.57079632675     		φ = -0.87642720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35981437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.615845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87642720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.215580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58030 KachelY 86742 -0.35981437 -0.87642720 -20.615845 -50.215580
    Oben rechts KachelX + 1 58031 KachelY 86742 -0.35976643 -0.87642720 -20.613098 -50.215580
    Unten links KachelX 58030 KachelY + 1 86743 -0.35981437 -0.87645788 -20.615845 -50.217337
    Unten rechts KachelX + 1 58031 KachelY + 1 86743 -0.35976643 -0.87645788 -20.613098 -50.217337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87642720--0.87645788) × R
    3.06800000000607e-05 × 6371000     		dl = 195.462280000386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87642720--0.87645788) × R
    3.06800000000607e-05 × 6371000     		dr = 195.462280000386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35981437--0.35976643) × cos(-0.87642720) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.639900767625729 × 6371000     		do = 195.442165478528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35981437--0.35976643) × cos(-0.87645788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.639877191046912 × 6371000     		du = 195.434964584496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87642720)-sin(-0.87645788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639900767625729-0.639877191046912)×R²
    abs(-0.35976643--0.35981437)×2.35765788163533e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35765788163533e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35765788163533e-05×40589641000000     		ar = 38200.8675241087m²