Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58030 / 28334
↖ ↑ ↗
← N 70.918437°
W 20.615845°		 ← 99.85 m → N 70.918437°
W 20.613098°		 →
↑
99.90 m
↓
↑
99.90 m
↓
N 70.917539°
W 20.615845°		 ← 99.85 m →
9 975 m²		 N 70.917539°
W 20.613098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442737579345703 y=0.216175079345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442737579345703 × 217)
    floor (0.442737579345703 × 131072)
    floor (58030.5)     		tx = 58030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216175079345703 × 217)
    floor (0.216175079345703 × 131072)
    floor (28334.5)     		ty = 28334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58030 / 28334 ti = "17/58030/28334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58030/28334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58030 ÷ 217
    58030 ÷ 131072     		x = 0.442733764648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28334 ÷ 217
    28334 ÷ 131072     		y = 0.216171264648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442733764648438 × 2 - 1) × π
    -0.114532470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35981437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216171264648438 × 2 - 1) × π
    0.567657470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78334853966533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35981437} λ = -0.35981437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78334853966533))-π/2
    2×atan(5.94974606006046)-π/2
    2×1.40427827622062-π/2
    2.80855655244125-1.57079632675     		φ = 1.23776023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35981437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.615845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23776023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.918437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58030 KachelY 28334 -0.35981437 1.23776023 -20.615845 70.918437
    Oben rechts KachelX + 1 58031 KachelY 28334 -0.35976643 1.23776023 -20.613098 70.918437
    Unten links KachelX 58030 KachelY + 1 28335 -0.35981437 1.23774455 -20.615845 70.917539
    Unten rechts KachelX + 1 58031 KachelY + 1 28335 -0.35976643 1.23774455 -20.613098 70.917539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23776023-1.23774455) × R
    1.56799999999624e-05 × 6371000     		dl = 99.8972799997604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23776023-1.23774455) × R
    1.56799999999624e-05 × 6371000     		dr = 99.8972799997604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35981437--0.35976643) × cos(1.23776023) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32691380661484 × 6371000     		do = 99.847891301489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35981437--0.35976643) × cos(1.23774455) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.326928625023862 × 6371000     		du = 99.85241722503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23776023)-sin(1.23774455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32691380661484-0.326928625023862)×R²
    abs(-0.35976643--0.35981437)×1.48184090212888e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48184090212888e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48184090212888e-05×40589641000000     		ar = 9974.75881854109m²