Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58026 / 86235
↖ ↑ ↗
← S 49.316171°
W 20.626831°		 ← 199.10 m → S 49.316171°
W 20.624085°		 →
↑
199.09 m
↓
↑
199.09 m
↓
S 49.317961°
W 20.626831°		 ← 199.10 m →
39 639 m²		 S 49.317961°
W 20.624085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442707061767578 y=0.657924652099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442707061767578 × 217)
    floor (0.442707061767578 × 131072)
    floor (58026.5)     		tx = 58026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657924652099609 × 217)
    floor (0.657924652099609 × 131072)
    floor (86235.5)     		ty = 86235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58026 / 86235 ti = "17/58026/86235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58026/86235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58026 ÷ 217
    58026 ÷ 131072     		x = 0.442703247070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86235 ÷ 217
    86235 ÷ 131072     		y = 0.657920837402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442703247070312 × 2 - 1) × π
    -0.114593505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36000612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657920837402344 × 2 - 1) × π
    -0.315841674804688 × 3.1415926535     		Φ = -0.992245885235542
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36000612} λ = -0.36000612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.992245885235542))-π/2
    2×atan(0.370743108833155)-π/2
    2×0.355033388255171-π/2
    0.710066776510342-1.57079632675     		φ = -0.86072955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36000612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.626831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86072955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.316171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58026 KachelY 86235 -0.36000612 -0.86072955 -20.626831 -49.316171
    Oben rechts KachelX + 1 58027 KachelY 86235 -0.35995818 -0.86072955 -20.624085 -49.316171
    Unten links KachelX 58026 KachelY + 1 86236 -0.36000612 -0.86076080 -20.626831 -49.317961
    Unten rechts KachelX + 1 58027 KachelY + 1 86236 -0.35995818 -0.86076080 -20.624085 -49.317961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86072955--0.86076080) × R
    3.12500000000382e-05 × 6371000     		dl = 199.093750000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86072955--0.86076080) × R
    3.12500000000382e-05 × 6371000     		dr = 199.093750000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36000612--0.35995818) × cos(-0.86072955) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.65188441054364 × 6371000     		do = 199.102278484625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36000612--0.35995818) × cos(-0.86076080) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.651860712777 × 6371000     		du = 199.095040576712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86072955)-sin(-0.86076080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65188441054364-0.651860712777)×R²
    abs(-0.35995818--0.36000612)×2.36977666406846e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36977666406846e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36977666406846e-05×40589641000000     		ar = 39639.2987492492m²