Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58025 / 86743
↖ ↑ ↗
← S 50.217337°
W 20.629577°		 ← 195.39 m → S 50.217337°
W 20.626831°		 →
↑
195.40 m
↓
↑
195.40 m
↓
S 50.219095°
W 20.629577°		 ← 195.39 m →
38 179 m²		 S 50.219095°
W 20.626831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442699432373047 y=0.661800384521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442699432373047 × 217)
    floor (0.442699432373047 × 131072)
    floor (58025.5)     		tx = 58025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661800384521484 × 217)
    floor (0.661800384521484 × 131072)
    floor (86743.5)     		ty = 86743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58025 / 86743 ti = "17/58025/86743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58025/86743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58025 ÷ 217
    58025 ÷ 131072     		x = 0.442695617675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86743 ÷ 217
    86743 ÷ 131072     		y = 0.661796569824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442695617675781 × 2 - 1) × π
    -0.114608764648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.36005405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661796569824219 × 2 - 1) × π
    -0.323593139648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.01659783024253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36005405} λ = -0.36005405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01659783024253))-π/2
    2×atan(0.361823834641683)-π/2
    2×0.347169225739987-π/2
    0.694338451479974-1.57079632675     		φ = -0.87645788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36005405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.629577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87645788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.217337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58025 KachelY 86743 -0.36005405 -0.87645788 -20.629577 -50.217337
    Oben rechts KachelX + 1 58026 KachelY 86743 -0.36000612 -0.87645788 -20.626831 -50.217337
    Unten links KachelX 58025 KachelY + 1 86744 -0.36005405 -0.87648855 -20.629577 -50.219095
    Unten rechts KachelX + 1 58026 KachelY + 1 86744 -0.36000612 -0.87648855 -20.626831 -50.219095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87645788--0.87648855) × R
    3.06700000000104e-05 × 6371000     		dl = 195.398570000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87645788--0.87648855) × R
    3.06700000000104e-05 × 6371000     		dr = 195.398570000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36005405--0.36000612) × cos(-0.87645788) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639877191046912 × 6371000     		do = 195.394198008903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36005405--0.36000612) × cos(-0.87648855) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639853621550772 × 6371000     		du = 195.387000779715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87645788)-sin(-0.87648855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639877191046912-0.639853621550772)×R²
    abs(-0.36000612--0.36005405)×2.35694961405741e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35694961405741e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35694961405741e-05×40589641000000     		ar = 38179.0437159664m²