Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58024 / 86248
↖ ↑ ↗
← S 49.339441°
W 20.632324°		 ← 199.01 m → S 49.339441°
W 20.629577°		 →
↑
198.97 m
↓
↑
198.97 m
↓
S 49.341231°
W 20.632324°		 ← 199 m →
39 595 m²		 S 49.341231°
W 20.629577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442691802978516 y=0.658023834228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442691802978516 × 217)
    floor (0.442691802978516 × 131072)
    floor (58024.5)     		tx = 58024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658023834228516 × 217)
    floor (0.658023834228516 × 131072)
    floor (86248.5)     		ty = 86248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58024 / 86248 ti = "17/58024/86248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58024/86248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58024 ÷ 217
    58024 ÷ 131072     		x = 0.44268798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86248 ÷ 217
    86248 ÷ 131072     		y = 0.65802001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44268798828125 × 2 - 1) × π
    -0.1146240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36010199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65802001953125 × 2 - 1) × π
    -0.3160400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.992869064930603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36010199} λ = -0.36010199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.992869064930603))-π/2
    2×atan(0.370512141230282)-π/2
    2×0.354830315683374-π/2
    0.709660631366748-1.57079632675     		φ = -0.86113570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36010199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.632324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86113570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.339441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58024 KachelY 86248 -0.36010199 -0.86113570 -20.632324 -49.339441
    Oben rechts KachelX + 1 58025 KachelY 86248 -0.36005405 -0.86113570 -20.629577 -49.339441
    Unten links KachelX 58024 KachelY + 1 86249 -0.36010199 -0.86116693 -20.632324 -49.341231
    Unten rechts KachelX + 1 58025 KachelY + 1 86249 -0.36005405 -0.86116693 -20.629577 -49.341231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86113570--0.86116693) × R
    3.12300000000487e-05 × 6371000     		dl = 198.96633000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86113570--0.86116693) × R
    3.12300000000487e-05 × 6371000     		dr = 198.96633000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36010199--0.36005405) × cos(-0.86113570) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.651576365788787 × 6371000     		do = 199.00819368742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36010199--0.36005405) × cos(-0.86116693) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.65155267492248 × 6371000     		du = 199.000957887047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86113570)-sin(-0.86116693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651576365788787-0.65155267492248)×R²
    abs(-0.36005405--0.36010199)×2.36908663066027e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36908663066027e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36908663066027e-05×40589641000000     		ar = 39595.2101009741m²