Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58023 / 86745
↖ ↑ ↗
← S 50.220852°
W 20.635071°		 ← 195.42 m → S 50.220852°
W 20.632324°		 →
↑
195.40 m
↓
↑
195.40 m
↓
S 50.222609°
W 20.635071°		 ← 195.41 m →
38 184 m²		 S 50.222609°
W 20.632324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442684173583984 y=0.661815643310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442684173583984 × 217)
    floor (0.442684173583984 × 131072)
    floor (58023.5)     		tx = 58023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661815643310547 × 217)
    floor (0.661815643310547 × 131072)
    floor (86745.5)     		ty = 86745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58023 / 86745 ti = "17/58023/86745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58023/86745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58023 ÷ 217
    58023 ÷ 131072     		x = 0.442680358886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86745 ÷ 217
    86745 ÷ 131072     		y = 0.661811828613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442680358886719 × 2 - 1) × π
    -0.114639282226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.36014993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661811828613281 × 2 - 1) × π
    -0.323623657226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.01669370404177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36014993} λ = -0.36014993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01669370404177))-π/2
    2×atan(0.361789146878851)-π/2
    2×0.347138553141101-π/2
    0.694277106282202-1.57079632675     		φ = -0.87651922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36014993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.635071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87651922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.220852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58023 KachelY 86745 -0.36014993 -0.87651922 -20.635071 -50.220852
    Oben rechts KachelX + 1 58024 KachelY 86745 -0.36010199 -0.87651922 -20.632324 -50.220852
    Unten links KachelX 58023 KachelY + 1 86746 -0.36014993 -0.87654989 -20.635071 -50.222609
    Unten rechts KachelX + 1 58024 KachelY + 1 86746 -0.36010199 -0.87654989 -20.632324 -50.222609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87651922--0.87654989) × R
    3.06700000000104e-05 × 6371000     		dl = 195.398570000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87651922--0.87654989) × R
    3.06700000000104e-05 × 6371000     		dr = 195.398570000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36014993--0.36010199) × cos(-0.87651922) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.639830051452754 × 6371000     		do = 195.420566939293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36014993--0.36010199) × cos(-0.87654989) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63980648075288 × 6371000     		du = 195.413367840842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87651922)-sin(-0.87654989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639830051452754-0.63980648075288)×R²
    abs(-0.36010199--0.36014993)×2.35706998735763e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35706998735763e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35706998735763e-05×40589641000000     		ar = 38184.1959846144m²