Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58023 / 86230
↖ ↑ ↗
← S 49.307217°
W 20.635071°		 ← 199.14 m → S 49.307217°
W 20.632324°		 →
↑
199.09 m
↓
↑
199.09 m
↓
S 49.309008°
W 20.635071°		 ← 199.13 m →
39 647 m²		 S 49.309008°
W 20.632324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442684173583984 y=0.657886505126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442684173583984 × 217)
    floor (0.442684173583984 × 131072)
    floor (58023.5)     		tx = 58023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657886505126953 × 217)
    floor (0.657886505126953 × 131072)
    floor (86230.5)     		ty = 86230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58023 / 86230 ti = "17/58023/86230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58023/86230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58023 ÷ 217
    58023 ÷ 131072     		x = 0.442680358886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86230 ÷ 217
    86230 ÷ 131072     		y = 0.657882690429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442680358886719 × 2 - 1) × π
    -0.114639282226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.36014993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657882690429688 × 2 - 1) × π
    -0.315765380859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.992006200737442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36014993} λ = -0.36014993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.992006200737442))-π/2
    2×atan(0.370831980859318)-π/2
    2×0.355111518648871-π/2
    0.710223037297743-1.57079632675     		φ = -0.86057329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36014993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.635071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86057329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.307217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58023 KachelY 86230 -0.36014993 -0.86057329 -20.635071 -49.307217
    Oben rechts KachelX + 1 58024 KachelY 86230 -0.36010199 -0.86057329 -20.632324 -49.307217
    Unten links KachelX 58023 KachelY + 1 86231 -0.36014993 -0.86060454 -20.635071 -49.309008
    Unten rechts KachelX + 1 58024 KachelY + 1 86231 -0.36010199 -0.86060454 -20.632324 -49.309008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86057329--0.86060454) × R
    3.12499999999272e-05 × 6371000     		dl = 199.093749999536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86057329--0.86060454) × R
    3.12499999999272e-05 × 6371000     		dr = 199.093749999536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36014993--0.36010199) × cos(-0.86057329) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.652002897409457 × 6371000     		do = 199.138467423528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36014993--0.36010199) × cos(-0.86060454) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.651979202826281 × 6371000     		du = 199.131230487927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86057329)-sin(-0.86060454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652002897409457-0.651979202826281)×R²
    abs(-0.36010199--0.36014993)×2.36945831760815e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36945831760815e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36945831760815e-05×40589641000000     		ar = 39646.5038374154m²