Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58022 / 86375
↖ ↑ ↗
← S 49.566197°
W 20.637817°		 ← 198.05 m → S 49.566197°
W 20.635071°		 →
↑
198.07 m
↓
↑
198.07 m
↓
S 49.567978°
W 20.637817°		 ← 198.04 m →
39 228 m²		 S 49.567978°
W 20.635071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442676544189453 y=0.658992767333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442676544189453 × 217)
    floor (0.442676544189453 × 131072)
    floor (58022.5)     		tx = 58022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658992767333984 × 217)
    floor (0.658992767333984 × 131072)
    floor (86375.5)     		ty = 86375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58022 / 86375 ti = "17/58022/86375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58022/86375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58022 ÷ 217
    58022 ÷ 131072     		x = 0.442672729492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86375 ÷ 217
    86375 ÷ 131072     		y = 0.658988952636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442672729492188 × 2 - 1) × π
    -0.114654541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36019786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658988952636719 × 2 - 1) × π
    -0.317977905273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.99895705118235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36019786} λ = -0.36019786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.99895705118235))-π/2
    2×atan(0.368263320748228)-π/2
    2×0.352851499721629-π/2
    0.705702999443258-1.57079632675     		φ = -0.86509333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36019786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.637817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86509333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.566197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58022 KachelY 86375 -0.36019786 -0.86509333 -20.637817 -49.566197
    Oben rechts KachelX + 1 58023 KachelY 86375 -0.36014993 -0.86509333 -20.635071 -49.566197
    Unten links KachelX 58022 KachelY + 1 86376 -0.36019786 -0.86512442 -20.637817 -49.567978
    Unten rechts KachelX + 1 58023 KachelY + 1 86376 -0.36014993 -0.86512442 -20.635071 -49.567978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86509333--0.86512442) × R
    3.10900000000114e-05 × 6371000     		dl = 198.074390000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86509333--0.86512442) × R
    3.10900000000114e-05 × 6371000     		dr = 198.074390000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36019786--0.36014993) × cos(-0.86509333) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.648569079840743 × 6371000     		do = 198.048370815293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36019786--0.36014993) × cos(-0.86512442) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.648545415193541 × 6371000     		du = 198.041144530584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86509333)-sin(-0.86512442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648569079840743-0.648545415193541)×R²
    abs(-0.36014993--0.36019786)×2.36646472023816e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36646472023816e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36646472023816e-05×40589641000000     		ar = 39227.5945719239m²