Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58021 / 86367
↖ ↑ ↗
← S 49.551944°
W 20.640564°		 ← 198.15 m → S 49.551944°
W 20.637817°		 →
↑
198.14 m
↓
↑
198.14 m
↓
S 49.553726°
W 20.640564°		 ← 198.14 m →
39 260 m²		 S 49.553726°
W 20.637817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442668914794922 y=0.658931732177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442668914794922 × 217)
    floor (0.442668914794922 × 131072)
    floor (58021.5)     		tx = 58021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658931732177734 × 217)
    floor (0.658931732177734 × 131072)
    floor (86367.5)     		ty = 86367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58021 / 86367 ti = "17/58021/86367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58021/86367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58021 ÷ 217
    58021 ÷ 131072     		x = 0.442665100097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86367 ÷ 217
    86367 ÷ 131072     		y = 0.658927917480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442665100097656 × 2 - 1) × π
    -0.114669799804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.36024580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658927917480469 × 2 - 1) × π
    -0.317855834960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.99857355598539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36024580} λ = -0.36024580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.99857355598539))-π/2
    2×atan(0.368404575046393)-π/2
    2×0.352975879436552-π/2
    0.705951758873104-1.57079632675     		φ = -0.86484457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36024580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.640564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86484457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.551944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58021 KachelY 86367 -0.36024580 -0.86484457 -20.640564 -49.551944
    Oben rechts KachelX + 1 58022 KachelY 86367 -0.36019786 -0.86484457 -20.637817 -49.551944
    Unten links KachelX 58021 KachelY + 1 86368 -0.36024580 -0.86487567 -20.640564 -49.553726
    Unten rechts KachelX + 1 58022 KachelY + 1 86368 -0.36019786 -0.86487567 -20.637817 -49.553726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86484457--0.86487567) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dl = 198.138099999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86484457--0.86487567) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dr = 198.138099999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36024580--0.36019786) × cos(-0.86484457) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.64875840488785 × 6371000     		do = 198.147515894191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36024580--0.36019786) × cos(-0.86487567) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.648734737647142 × 6371000     		du = 198.140287309684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86484457)-sin(-0.86487567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64875840488785-0.648734737647142)×R²
    abs(-0.36019786--0.36024580)×2.36672407080141e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36672407080141e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36672407080141e-05×40589641000000     		ar = 39259.8561930947m²