Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58020 / 86772
↖ ↑ ↗
← S 50.268277°
W 20.643311°		 ← 195.23 m → S 50.268277°
W 20.640564°		 →
↑
195.21 m
↓
↑
195.21 m
↓
S 50.270032°
W 20.643311°		 ← 195.22 m →
38 109 m²		 S 50.270032°
W 20.640564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442661285400391 y=0.662021636962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442661285400391 × 217)
    floor (0.442661285400391 × 131072)
    floor (58020.5)     		tx = 58020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662021636962891 × 217)
    floor (0.662021636962891 × 131072)
    floor (86772.5)     		ty = 86772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58020 / 86772 ti = "17/58020/86772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58020/86772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58020 ÷ 217
    58020 ÷ 131072     		x = 0.442657470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86772 ÷ 217
    86772 ÷ 131072     		y = 0.662017822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442657470703125 × 2 - 1) × π
    -0.11468505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36029374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662017822265625 × 2 - 1) × π
    -0.32403564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.01798800033151
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36029374} λ = -0.36029374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01798800033151))-π/2
    2×atan(0.361321187432792)-π/2
    2×0.346724694222184-π/2
    0.693449388444368-1.57079632675     		φ = -0.87734694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36029374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.643311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87734694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.268277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58020 KachelY 86772 -0.36029374 -0.87734694 -20.643311 -50.268277
    Oben rechts KachelX + 1 58021 KachelY 86772 -0.36024580 -0.87734694 -20.640564 -50.268277
    Unten links KachelX 58020 KachelY + 1 86773 -0.36029374 -0.87737758 -20.643311 -50.270032
    Unten rechts KachelX + 1 58021 KachelY + 1 86773 -0.36024580 -0.87737758 -20.640564 -50.270032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87734694--0.87737758) × R
    3.06399999999707e-05 × 6371000     		dl = 195.207439999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87734694--0.87737758) × R
    3.06399999999707e-05 × 6371000     		dr = 195.207439999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36029374--0.36024580) × cos(-0.87734694) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.639193715924534 × 6371000     		do = 195.226213689472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36029374--0.36024580) × cos(-0.87737758) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.63917015206216 × 6371000     		du = 195.21901667937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87734694)-sin(-0.87737758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639193715924534-0.63917015206216)×R²
    abs(-0.36024580--0.36029374)×2.35638623732326e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35638623732326e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35638623732326e-05×40589641000000     		ar = 38108.9069431618m²