Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58019 / 86771
↖ ↑ ↗
← S 50.266521°
W 20.646057°		 ← 195.19 m → S 50.266521°
W 20.643311°		 →
↑
195.21 m
↓
↑
195.21 m
↓
S 50.268277°
W 20.646057°		 ← 195.19 m →
38 102 m²		 S 50.268277°
W 20.643311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442653656005859 y=0.662014007568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442653656005859 × 217)
    floor (0.442653656005859 × 131072)
    floor (58019.5)     		tx = 58019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662014007568359 × 217)
    floor (0.662014007568359 × 131072)
    floor (86771.5)     		ty = 86771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58019 / 86771 ti = "17/58019/86771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58019/86771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58019 ÷ 217
    58019 ÷ 131072     		x = 0.442649841308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86771 ÷ 217
    86771 ÷ 131072     		y = 0.662010192871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442649841308594 × 2 - 1) × π
    -0.114700317382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.36034167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662010192871094 × 2 - 1) × π
    -0.324020385742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.01794006343189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36034167} λ = -0.36034167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01794006343189))-π/2
    2×atan(0.361338508465439)-π/2
    2×0.346740014987114-π/2
    0.693480029974229-1.57079632675     		φ = -0.87731630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36034167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.646057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87731630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.266521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58019 KachelY 86771 -0.36034167 -0.87731630 -20.646057 -50.266521
    Oben rechts KachelX + 1 58020 KachelY 86771 -0.36029374 -0.87731630 -20.643311 -50.266521
    Unten links KachelX 58019 KachelY + 1 86772 -0.36034167 -0.87734694 -20.646057 -50.268277
    Unten rechts KachelX + 1 58020 KachelY + 1 86772 -0.36029374 -0.87734694 -20.643311 -50.268277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87731630--0.87734694) × R
    3.06399999999707e-05 × 6371000     		dl = 195.207439999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87731630--0.87734694) × R
    3.06399999999707e-05 × 6371000     		dr = 195.207439999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36034167--0.36029374) × cos(-0.87731630) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639217279186826 × 6371000     		do = 195.192685983685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36034167--0.36029374) × cos(-0.87734694) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639193715924534 × 6371000     		du = 195.185490658078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87731630)-sin(-0.87734694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639217279186826-0.639193715924534)×R²
    abs(-0.36029374--0.36034167)×2.35632622921367e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35632622921367e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35632622921367e-05×40589641000000     		ar = 38102.3622500187m²