Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58018 / 86787
↖ ↑ ↗
← S 50.294604°
W 20.648804°		 ← 195.12 m → S 50.294604°
W 20.646057°		 →
↑
195.08 m
↓
↑
195.08 m
↓
S 50.296358°
W 20.648804°		 ← 195.11 m →
38 063 m²		 S 50.296358°
W 20.646057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442646026611328 y=0.662136077880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442646026611328 × 217)
    floor (0.442646026611328 × 131072)
    floor (58018.5)     		tx = 58018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662136077880859 × 217)
    floor (0.662136077880859 × 131072)
    floor (86787.5)     		ty = 86787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58018 / 86787 ti = "17/58018/86787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58018/86787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58018 ÷ 217
    58018 ÷ 131072     		x = 0.442642211914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86787 ÷ 217
    86787 ÷ 131072     		y = 0.662132263183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442642211914062 × 2 - 1) × π
    -0.114715576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36038961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662132263183594 × 2 - 1) × π
    -0.324264526367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.01870705382581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36038961} λ = -0.36038961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01870705382581))-π/2
    2×atan(0.361061471556398)-π/2
    2×0.3464949505206-π/2
    0.692989901041201-1.57079632675     		φ = -0.87780643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36038961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.648804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87780643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.294604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58018 KachelY 86787 -0.36038961 -0.87780643 -20.648804 -50.294604
    Oben rechts KachelX + 1 58019 KachelY 86787 -0.36034167 -0.87780643 -20.646057 -50.294604
    Unten links KachelX 58018 KachelY + 1 86788 -0.36038961 -0.87783705 -20.648804 -50.296358
    Unten rechts KachelX + 1 58019 KachelY + 1 86788 -0.36034167 -0.87783705 -20.646057 -50.296358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87780643--0.87783705) × R
    3.06199999999812e-05 × 6371000     		dl = 195.08001999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87780643--0.87783705) × R
    3.06199999999812e-05 × 6371000     		dr = 195.08001999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36038961--0.36034167) × cos(-0.87780643) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.638840279620135 × 6371000     		do = 195.118265144885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36038961--0.36034167) × cos(-0.87783705) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.638816722148531 × 6371000     		du = 195.111070086687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87780643)-sin(-0.87783705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638840279620135-0.638816722148531)×R²
    abs(-0.36034167--0.36038961)×2.35574716039855e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35574716039855e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35574716039855e-05×40589641000000     		ar = 38062.9732637265m²