Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58018 / 86242
↖ ↑ ↗
← S 49.328702°
W 20.648804°		 ← 199.05 m → S 49.328702°
W 20.646057°		 →
↑
199.03 m
↓
↑
199.03 m
↓
S 49.330492°
W 20.648804°		 ← 199.04 m →
39 617 m²		 S 49.330492°
W 20.646057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442646026611328 y=0.657978057861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442646026611328 × 217)
    floor (0.442646026611328 × 131072)
    floor (58018.5)     		tx = 58018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657978057861328 × 217)
    floor (0.657978057861328 × 131072)
    floor (86242.5)     		ty = 86242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58018 / 86242 ti = "17/58018/86242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58018/86242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58018 ÷ 217
    58018 ÷ 131072     		x = 0.442642211914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86242 ÷ 217
    86242 ÷ 131072     		y = 0.657974243164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442642211914062 × 2 - 1) × π
    -0.114715576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36038961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657974243164062 × 2 - 1) × π
    -0.315948486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.992581443532883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36038961} λ = -0.36038961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.992581443532883))-π/2
    2×atan(0.370618723777191)-π/2
    2×0.354924029558945-π/2
    0.70984805911789-1.57079632675     		φ = -0.86094827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36038961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.648804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86094827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.328702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58018 KachelY 86242 -0.36038961 -0.86094827 -20.648804 -49.328702
    Oben rechts KachelX + 1 58019 KachelY 86242 -0.36034167 -0.86094827 -20.646057 -49.328702
    Unten links KachelX 58018 KachelY + 1 86243 -0.36038961 -0.86097951 -20.648804 -49.330492
    Unten rechts KachelX + 1 58019 KachelY + 1 86243 -0.36034167 -0.86097951 -20.646057 -49.330492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86094827--0.86097951) × R
    3.12399999999879e-05 × 6371000     		dl = 199.030039999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86094827--0.86097951) × R
    3.12399999999879e-05 × 6371000     		dr = 199.030039999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36038961--0.36034167) × cos(-0.86094827) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.651718535563556 × 6371000     		do = 199.051615996315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36038961--0.36034167) × cos(-0.86097951) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.651694840926746 × 6371000     		du = 199.044379044334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86094827)-sin(-0.86097951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651718535563556-0.651694840926746)×R²
    abs(-0.36034167--0.36038961)×2.36946368100677e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36946368100677e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36946368100677e-05×40589641000000     		ar = 39616.5309116272m²