Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58017 / 86239
↖ ↑ ↗
← S 49.323332°
W 20.651550°		 ← 199.07 m → S 49.323332°
W 20.648804°		 →
↑
199.03 m
↓
↑
199.03 m
↓
S 49.325122°
W 20.651550°		 ← 199.07 m →
39 621 m²		 S 49.325122°
W 20.648804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442638397216797 y=0.657955169677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442638397216797 × 217)
    floor (0.442638397216797 × 131072)
    floor (58017.5)     		tx = 58017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657955169677734 × 217)
    floor (0.657955169677734 × 131072)
    floor (86239.5)     		ty = 86239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58017 / 86239 ti = "17/58017/86239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58017/86239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58017 ÷ 217
    58017 ÷ 131072     		x = 0.442634582519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86239 ÷ 217
    86239 ÷ 131072     		y = 0.657951354980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442634582519531 × 2 - 1) × π
    -0.114730834960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.36043755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657951354980469 × 2 - 1) × π
    -0.315902709960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.992437632834023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36043755} λ = -0.36043755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.992437632834023))-π/2
    2×atan(0.37067202654753)-π/2
    2×0.35497089416386-π/2
    0.709941788327719-1.57079632675     		φ = -0.86085454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36043755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.651550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86085454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.323332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58017 KachelY 86239 -0.36043755 -0.86085454 -20.651550 -49.323332
    Oben rechts KachelX + 1 58018 KachelY 86239 -0.36038961 -0.86085454 -20.648804 -49.323332
    Unten links KachelX 58017 KachelY + 1 86240 -0.36043755 -0.86088578 -20.651550 -49.325122
    Unten rechts KachelX + 1 58018 KachelY + 1 86240 -0.36038961 -0.86088578 -20.648804 -49.325122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86085454--0.86088578) × R
    3.1240000000099e-05 × 6371000     		dl = 199.030040000631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86085454--0.86088578) × R
    3.1240000000099e-05 × 6371000     		dr = 199.030040000631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36043755--0.36038961) × cos(-0.86085454) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.651789623241672 × 6371000     		do = 199.073328002778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36043755--0.36038961) × cos(-0.86088578) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.651765930513245 × 6371000     		du = 199.066091633666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86085454)-sin(-0.86088578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651789623241672-0.651765930513245)×R²
    abs(-0.36038961--0.36043755)×2.36927284272825e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36927284272825e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36927284272825e-05×40589641000000     		ar = 39620.8523111401m²