Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58015 / 86433
↖ ↑ ↗
← S 49.669405°
W 20.657043°		 ← 197.63 m → S 49.669405°
W 20.654297°		 →
↑
197.69 m
↓
↑
197.69 m
↓
S 49.671183°
W 20.657043°		 ← 197.62 m →
39 069 m²		 S 49.671183°
W 20.654297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442623138427734 y=0.659435272216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442623138427734 × 217)
    floor (0.442623138427734 × 131072)
    floor (58015.5)     		tx = 58015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659435272216797 × 217)
    floor (0.659435272216797 × 131072)
    floor (86433.5)     		ty = 86433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58015 / 86433 ti = "17/58015/86433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58015/86433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58015 ÷ 217
    58015 ÷ 131072     		x = 0.442619323730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86433 ÷ 217
    86433 ÷ 131072     		y = 0.659431457519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442619323730469 × 2 - 1) × π
    -0.114761352539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.36053342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659431457519531 × 2 - 1) × π
    -0.318862915039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.00173739136031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36053342} λ = -0.36053342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00173739136031))-π/2
    2×atan(0.367240845514638)-π/2
    2×0.351950832236104-π/2
    0.703901664472208-1.57079632675     		φ = -0.86689466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36053342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.657043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86689466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.669405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58015 KachelY 86433 -0.36053342 -0.86689466 -20.657043 -49.669405
    Oben rechts KachelX + 1 58016 KachelY 86433 -0.36048549 -0.86689466 -20.654297 -49.669405
    Unten links KachelX 58015 KachelY + 1 86434 -0.36053342 -0.86692569 -20.657043 -49.671183
    Unten rechts KachelX + 1 58016 KachelY + 1 86434 -0.36048549 -0.86692569 -20.654297 -49.671183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86689466--0.86692569) × R
    3.10299999999319e-05 × 6371000     		dl = 197.692129999566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86689466--0.86692569) × R
    3.10299999999319e-05 × 6371000     		dr = 197.692129999566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36053342--0.36048549) × cos(-0.86689466) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.647196935573926 × 6371000     		do = 197.629370056525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36053342--0.36048549) × cos(-0.86692569) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.647173280384336 × 6371000     		du = 197.622146659812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86689466)-sin(-0.86692569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647196935573926-0.647173280384336)×R²
    abs(-0.36048549--0.36053342)×2.36551895905768e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36551895905768e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36551895905768e-05×40589641000000     		ar = 39069.0571157134m²