Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58014 / 86782
↖ ↑ ↗
← S 50.285829°
W 20.659790°		 ← 195.15 m → S 50.285829°
W 20.657043°		 →
↑
195.14 m
↓
↑
195.14 m
↓
S 50.287584°
W 20.659790°		 ← 195.15 m →
38 082 m²		 S 50.287584°
W 20.657043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442615509033203 y=0.662097930908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442615509033203 × 217)
    floor (0.442615509033203 × 131072)
    floor (58014.5)     		tx = 58014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662097930908203 × 217)
    floor (0.662097930908203 × 131072)
    floor (86782.5)     		ty = 86782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58014 / 86782 ti = "17/58014/86782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58014/86782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58014 ÷ 217
    58014 ÷ 131072     		x = 0.442611694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86782 ÷ 217
    86782 ÷ 131072     		y = 0.662094116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442611694335938 × 2 - 1) × π
    -0.114776611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36058136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662094116210938 × 2 - 1) × π
    -0.324188232421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01846736932771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36058136} λ = -0.36058136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01846736932771))-π/2
    2×atan(0.361148022766068)-π/2
    2×0.346571517635809-π/2
    0.693143035271617-1.57079632675     		φ = -0.87765329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36058136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.659790°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87765329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.285829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58014 KachelY 86782 -0.36058136 -0.87765329 -20.659790 -50.285829
    Oben rechts KachelX + 1 58015 KachelY 86782 -0.36053342 -0.87765329 -20.657043 -50.285829
    Unten links KachelX 58014 KachelY + 1 86783 -0.36058136 -0.87768392 -20.659790 -50.287584
    Unten rechts KachelX + 1 58015 KachelY + 1 86783 -0.36053342 -0.87768392 -20.657043 -50.287584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87765329--0.87768392) × R
    3.06299999999204e-05 × 6371000     		dl = 195.143729999493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87765329--0.87768392) × R
    3.06299999999204e-05 × 6371000     		dr = 195.143729999493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36058136--0.36053342) × cos(-0.87765329) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.638958088762876 × 6371000     		do = 195.154247089485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36058136--0.36053342) × cos(-0.87768392) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.638934526594497 × 6371000     		du = 195.147050596772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87765329)-sin(-0.87768392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638958088762876-0.638934526594497)×R²
    abs(-0.36053342--0.36058136)×2.35621683782883e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35621683782883e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35621683782883e-05×40589641000000     		ar = 38082.4255299151m²