Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58013 / 38561
↖ ↑ ↗
← N 59.309366°
W 20.662537°		 ← 155.89 m → N 59.309366°
W 20.659790°		 →
↑
155.90 m
↓
↑
155.90 m
↓
N 59.307964°
W 20.662537°		 ← 155.90 m →
24 304 m²		 N 59.307964°
W 20.659790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442607879638672 y=0.294200897216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442607879638672 × 217)
    floor (0.442607879638672 × 131072)
    floor (58013.5)     		tx = 58013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294200897216797 × 217)
    floor (0.294200897216797 × 131072)
    floor (38561.5)     		ty = 38561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58013 / 38561 ti = "17/58013/38561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58013/38561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58013 ÷ 217
    58013 ÷ 131072     		x = 0.442604064941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38561 ÷ 217
    38561 ÷ 131072     		y = 0.294197082519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442604064941406 × 2 - 1) × π
    -0.114791870117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.36062930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294197082519531 × 2 - 1) × π
    0.411605834960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.29309786725101
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36062930} λ = -0.36062930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29309786725101))-π/2
    2×atan(3.64405789579735)-π/2
    2×1.30297002144664-π/2
    2.60594004289327-1.57079632675     		φ = 1.03514372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36062930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.662537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03514372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.309366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58013 KachelY 38561 -0.36062930 1.03514372 -20.662537 59.309366
    Oben rechts KachelX + 1 58014 KachelY 38561 -0.36058136 1.03514372 -20.659790 59.309366
    Unten links KachelX 58013 KachelY + 1 38562 -0.36062930 1.03511925 -20.662537 59.307964
    Unten rechts KachelX + 1 58014 KachelY + 1 38562 -0.36058136 1.03511925 -20.659790 59.307964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03514372-1.03511925) × R
    2.44700000000542e-05 × 6371000     		dl = 155.898370000345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03514372-1.03511925) × R
    2.44700000000542e-05 × 6371000     		dr = 155.898370000345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36062930--0.36058136) × cos(1.03514372) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.510402347972215 × 6371000     		do = 155.890014827049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36062930--0.36058136) × cos(1.03511925) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.510423390446481 × 6371000     		du = 155.896441740323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03514372)-sin(1.03511925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510402347972215-0.510423390446481)×R²
    abs(-0.36058136--0.36062930)×2.1042474266042e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.1042474266042e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.1042474266042e-05×40589641000000     		ar = 24303.5001848071m²