Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58012 / 81561
↖ ↑ ↗
← S 40.231315°
W 20.665283°		 ← 233.13 m → S 40.231315°
W 20.662537°		 →
↑
233.18 m
↓
↑
233.18 m
↓
S 40.233412°
W 20.665283°		 ← 233.12 m →
54 359 m²		 S 40.233412°
W 20.662537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442600250244141 y=0.622264862060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442600250244141 × 217)
    floor (0.442600250244141 × 131072)
    floor (58012.5)     		tx = 58012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622264862060547 × 217)
    floor (0.622264862060547 × 131072)
    floor (81561.5)     		ty = 81561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58012 / 81561 ti = "17/58012/81561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58012/81561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58012 ÷ 217
    58012 ÷ 131072     		x = 0.442596435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81561 ÷ 217
    81561 ÷ 131072     		y = 0.622261047363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442596435546875 × 2 - 1) × π
    -0.11480712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36067723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622261047363281 × 2 - 1) × π
    -0.244522094726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.7681888164114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36067723} λ = -0.36067723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.7681888164114))-π/2
    2×atan(0.46385242987135)-π/2
    2×0.434313708125988-π/2
    0.868627416251976-1.57079632675     		φ = -0.70216891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36067723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.665283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70216891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.231315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58012 KachelY 81561 -0.36067723 -0.70216891 -20.665283 -40.231315
    Oben rechts KachelX + 1 58013 KachelY 81561 -0.36062930 -0.70216891 -20.662537 -40.231315
    Unten links KachelX 58012 KachelY + 1 81562 -0.36067723 -0.70220551 -20.665283 -40.233412
    Unten rechts KachelX + 1 58013 KachelY + 1 81562 -0.36062930 -0.70220551 -20.662537 -40.233412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70216891--0.70220551) × R
    3.65999999999422e-05 × 6371000     		dl = 233.178599999632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70216891--0.70220551) × R
    3.65999999999422e-05 × 6371000     		dr = 233.178599999632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36067723--0.36062930) × cos(-0.70216891) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.76344313922259 × 6371000     		do = 233.126546782725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36067723--0.36062930) × cos(-0.70220551) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.763419499684625 × 6371000     		du = 233.119328165424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70216891)-sin(-0.70220551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76344313922259-0.763419499684625)×R²
    abs(-0.36062930--0.36067723)×2.36395379642484e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36395379642484e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36395379642484e-05×40589641000000     		ar = 54359.280194226m²