Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58010 / 81706
↖ ↑ ↗
← S 40.534677°
W 20.670777°		 ← 232.13 m → S 40.534677°
W 20.668030°		 →
↑
232.10 m
↓
↑
232.10 m
↓
S 40.536764°
W 20.670777°		 ← 232.12 m →
53 875 m²		 S 40.536764°
W 20.668030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442584991455078 y=0.623371124267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442584991455078 × 217)
    floor (0.442584991455078 × 131072)
    floor (58010.5)     		tx = 58010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623371124267578 × 217)
    floor (0.623371124267578 × 131072)
    floor (81706.5)     		ty = 81706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58010 / 81706 ti = "17/58010/81706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58010/81706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58010 ÷ 217
    58010 ÷ 131072     		x = 0.442581176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81706 ÷ 217
    81706 ÷ 131072     		y = 0.623367309570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442581176757812 × 2 - 1) × π
    -0.114837646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36077311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623367309570312 × 2 - 1) × π
    -0.246734619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.775139666856308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36077311} λ = -0.36077311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.775139666856308))-π/2
    2×atan(0.460639440443411)-π/2
    2×0.43166637787915-π/2
    0.863332755758301-1.57079632675     		φ = -0.70746357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36077311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.670777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70746357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.534677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58010 KachelY 81706 -0.36077311 -0.70746357 -20.670777 -40.534677
    Oben rechts KachelX + 1 58011 KachelY 81706 -0.36072517 -0.70746357 -20.668030 -40.534677
    Unten links KachelX 58010 KachelY + 1 81707 -0.36077311 -0.70750000 -20.670777 -40.536764
    Unten rechts KachelX + 1 58011 KachelY + 1 81707 -0.36072517 -0.70750000 -20.668030 -40.536764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70746357--0.70750000) × R
    3.64299999999762e-05 × 6371000     		dl = 232.095529999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70746357--0.70750000) × R
    3.64299999999762e-05 × 6371000     		dr = 232.095529999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36077311--0.36072517) × cos(-0.70746357) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.760012765498973 × 6371000     		do = 232.127461312087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36077311--0.36072517) × cos(-0.70750000) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.759989088840951 × 6371000     		du = 232.12022985129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70746357)-sin(-0.70750000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760012765498973-0.759989088840951)×R²
    abs(-0.36072517--0.36077311)×2.36766580221648e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36766580221648e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36766580221648e-05×40589641000000     		ar = 53874.9069716351m²