Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58009 / 86775
↖ ↑ ↗
← S 50.273543°
W 20.673523°		 ← 195.16 m → S 50.273543°
W 20.670777°		 →
↑
195.14 m
↓
↑
195.14 m
↓
S 50.275298°
W 20.673523°		 ← 195.16 m →
38 084 m²		 S 50.275298°
W 20.670777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442577362060547 y=0.662044525146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442577362060547 × 217)
    floor (0.442577362060547 × 131072)
    floor (58009.5)     		tx = 58009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662044525146484 × 217)
    floor (0.662044525146484 × 131072)
    floor (86775.5)     		ty = 86775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58009 / 86775 ti = "17/58009/86775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58009/86775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58009 ÷ 217
    58009 ÷ 131072     		x = 0.442573547363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86775 ÷ 217
    86775 ÷ 131072     		y = 0.662040710449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442573547363281 × 2 - 1) × π
    -0.114852905273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.36082104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662040710449219 × 2 - 1) × π
    -0.324081420898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.01813181103037
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36082104} λ = -0.36082104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01813181103037))-π/2
    2×atan(0.36126922931647)-π/2
    2×0.346678735316166-π/2
    0.693357470632332-1.57079632675     		φ = -0.87743886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36082104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.673523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87743886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.273543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58009 KachelY 86775 -0.36082104 -0.87743886 -20.673523 -50.273543
    Oben rechts KachelX + 1 58010 KachelY 86775 -0.36077311 -0.87743886 -20.670777 -50.273543
    Unten links KachelX 58009 KachelY + 1 86776 -0.36082104 -0.87746949 -20.673523 -50.275298
    Unten rechts KachelX + 1 58010 KachelY + 1 86776 -0.36077311 -0.87746949 -20.670777 -50.275298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87743886--0.87746949) × R
    3.06299999999204e-05 × 6371000     		dl = 195.143729999493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87743886--0.87746949) × R
    3.06299999999204e-05 × 6371000     		dr = 195.143729999493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36082104--0.36077311) × cos(-0.87743886) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.639123022537259 × 6371000     		do = 195.163903581607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36082104--0.36077311) × cos(-0.87746949) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.639099464566016 × 6371000     		du = 195.156709871685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87743886)-sin(-0.87746949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639123022537259-0.639099464566016)×R²
    abs(-0.36077311--0.36082104)×2.35579712430933e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.35579712430933e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.35579712430933e-05×40589641000000     		ar = 38084.3102054081m²