Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58009 / 86760
↖ ↑ ↗
← S 50.247205°
W 20.673523°		 ← 195.27 m → S 50.247205°
W 20.670777°		 →
↑
195.27 m
↓
↑
195.27 m
↓
S 50.248961°
W 20.673523°		 ← 195.26 m →
38 130 m²		 S 50.248961°
W 20.670777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442577362060547 y=0.661930084228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442577362060547 × 217)
    floor (0.442577362060547 × 131072)
    floor (58009.5)     		tx = 58009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661930084228516 × 217)
    floor (0.661930084228516 × 131072)
    floor (86760.5)     		ty = 86760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58009 / 86760 ti = "17/58009/86760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58009/86760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58009 ÷ 217
    58009 ÷ 131072     		x = 0.442573547363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86760 ÷ 217
    86760 ÷ 131072     		y = 0.66192626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442573547363281 × 2 - 1) × π
    -0.114852905273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.36082104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66192626953125 × 2 - 1) × π
    -0.3238525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01741275753607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36082104} λ = -0.36082104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01741275753607))-π/2
    2×atan(0.36152909463553)-π/2
    2×0.346908580679979-π/2
    0.693817161359958-1.57079632675     		φ = -0.87697917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36082104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.673523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87697917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.247205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58009 KachelY 86760 -0.36082104 -0.87697917 -20.673523 -50.247205
    Oben rechts KachelX + 1 58010 KachelY 86760 -0.36077311 -0.87697917 -20.670777 -50.247205
    Unten links KachelX 58009 KachelY + 1 86761 -0.36082104 -0.87700982 -20.673523 -50.248961
    Unten rechts KachelX + 1 58010 KachelY + 1 86761 -0.36077311 -0.87700982 -20.670777 -50.248961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87697917--0.87700982) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dl = 195.271150000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87697917--0.87700982) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dr = 195.271150000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36082104--0.36077311) × cos(-0.87697917) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.639476504653314 × 6371000     		do = 195.271843598134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36082104--0.36077311) × cos(-0.87700982) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.639452940306836 × 6371000     		du = 195.264647941458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87697917)-sin(-0.87700982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639476504653314-0.639452940306836)×R²
    abs(-0.36077311--0.36082104)×2.35643464779889e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.35643464779889e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.35643464779889e-05×40589641000000     		ar = 38130.2549129072m²