Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58007 / 28281
↖ ↑ ↗
← N 70.965968°
W 20.679016°		 ← 99.61 m → N 70.965968°
W 20.676270°		 →
↑
99.58 m
↓
↑
99.58 m
↓
N 70.965073°
W 20.679016°		 ← 99.61 m →
9 919 m²		 N 70.965073°
W 20.676270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442562103271484 y=0.215770721435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442562103271484 × 217)
    floor (0.442562103271484 × 131072)
    floor (58007.5)     		tx = 58007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215770721435547 × 217)
    floor (0.215770721435547 × 131072)
    floor (28281.5)     		ty = 28281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58007 / 28281 ti = "17/58007/28281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58007/28281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58007 ÷ 217
    58007 ÷ 131072     		x = 0.442558288574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28281 ÷ 217
    28281 ÷ 131072     		y = 0.215766906738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442558288574219 × 2 - 1) × π
    -0.114883422851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.36091692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215766906738281 × 2 - 1) × π
    0.568466186523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.78588919534519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36091692} λ = -0.36091692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78588919534519))-π/2
    2×atan(5.96488153505541)-π/2
    2×1.40469306572205-π/2
    2.80938613144411-1.57079632675     		φ = 1.23858980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36091692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.679016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23858980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.965968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58007 KachelY 28281 -0.36091692 1.23858980 -20.679016 70.965968
    Oben rechts KachelX + 1 58008 KachelY 28281 -0.36086898 1.23858980 -20.676270 70.965968
    Unten links KachelX 58007 KachelY + 1 28282 -0.36091692 1.23857417 -20.679016 70.965073
    Unten rechts KachelX + 1 58008 KachelY + 1 28282 -0.36086898 1.23857417 -20.676270 70.965073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23858980-1.23857417) × R
    1.56300000000442e-05 × 6371000     		dl = 99.5787300002817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23858980-1.23857417) × R
    1.56300000000442e-05 × 6371000     		dr = 99.5787300002817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36091692--0.36086898) × cos(1.23858980) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.326129705637446 × 6371000     		do = 99.6084066802339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36091692--0.36086898) × cos(1.23857417) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.326144481027851 × 6371000     		du = 99.6129194647821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23858980)-sin(1.23857417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326129705637446-0.326144481027851)×R²
    abs(-0.36086898--0.36091692)×1.47753904048975e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47753904048975e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47753904048975e-05×40589641000000     		ar = 9919.1033234204m²