Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58006 / 86770
↖ ↑ ↗
← S 50.264765°
W 20.681762°		 ← 195.20 m → S 50.264765°
W 20.679016°		 →
↑
195.27 m
↓
↑
195.27 m
↓
S 50.266521°
W 20.681762°		 ← 195.19 m →
38 116 m²		 S 50.266521°
W 20.679016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442554473876953 y=0.662006378173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442554473876953 × 217)
    floor (0.442554473876953 × 131072)
    floor (58006.5)     		tx = 58006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662006378173828 × 217)
    floor (0.662006378173828 × 131072)
    floor (86770.5)     		ty = 86770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58006 / 86770 ti = "17/58006/86770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58006/86770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58006 ÷ 217
    58006 ÷ 131072     		x = 0.442550659179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86770 ÷ 217
    86770 ÷ 131072     		y = 0.662002563476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442550659179688 × 2 - 1) × π
    -0.114898681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36096485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662002563476562 × 2 - 1) × π
    -0.324005126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.01789212653227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36096485} λ = -0.36096485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01789212653227))-π/2
    2×atan(0.361355830328423)-π/2
    2×0.346755336316851-π/2
    0.693510672633702-1.57079632675     		φ = -0.87728565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36096485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.681762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87728565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.264765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58006 KachelY 86770 -0.36096485 -0.87728565 -20.681762 -50.264765
    Oben rechts KachelX + 1 58007 KachelY 86770 -0.36091692 -0.87728565 -20.679016 -50.264765
    Unten links KachelX 58006 KachelY + 1 86771 -0.36096485 -0.87731630 -20.681762 -50.266521
    Unten rechts KachelX + 1 58007 KachelY + 1 86771 -0.36091692 -0.87731630 -20.679016 -50.266521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87728565--0.87731630) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dl = 195.271150000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87728565--0.87731630) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dr = 195.271150000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36096485--0.36091692) × cos(-0.87728565) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.63924084953908 × 6371000     		do = 195.199883474298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36096485--0.36091692) × cos(-0.87731630) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639217279186826 × 6371000     		du = 195.192685983685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87728565)-sin(-0.87731630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63924084953908-0.639217279186826)×R²
    abs(-0.36091692--0.36096485)×2.35703522546427e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35703522546427e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35703522546427e-05×40589641000000     		ar = 38116.2029977699m²