Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58006 / 86766
↖ ↑ ↗
← S 50.257742°
W 20.681762°		 ← 195.23 m → S 50.257742°
W 20.679016°		 →
↑
195.27 m
↓
↑
195.27 m
↓
S 50.259498°
W 20.681762°		 ← 195.22 m →
38 122 m²		 S 50.259498°
W 20.679016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442554473876953 y=0.661975860595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442554473876953 × 217)
    floor (0.442554473876953 × 131072)
    floor (58006.5)     		tx = 58006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661975860595703 × 217)
    floor (0.661975860595703 × 131072)
    floor (86766.5)     		ty = 86766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58006 / 86766 ti = "17/58006/86766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58006/86766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58006 ÷ 217
    58006 ÷ 131072     		x = 0.442550659179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86766 ÷ 217
    86766 ÷ 131072     		y = 0.661972045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442550659179688 × 2 - 1) × π
    -0.114898681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36096485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661972045898438 × 2 - 1) × π
    -0.323944091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01770037893379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36096485} λ = -0.36096485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01770037893379))-π/2
    2×atan(0.361425126084521)-π/2
    2×0.34681662728399-π/2
    0.693633254567979-1.57079632675     		φ = -0.87716307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36096485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.681762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87716307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.257742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58006 KachelY 86766 -0.36096485 -0.87716307 -20.681762 -50.257742
    Oben rechts KachelX + 1 58007 KachelY 86766 -0.36091692 -0.87716307 -20.679016 -50.257742
    Unten links KachelX 58006 KachelY + 1 86767 -0.36096485 -0.87719372 -20.681762 -50.259498
    Unten rechts KachelX + 1 58007 KachelY + 1 86767 -0.36091692 -0.87719372 -20.679016 -50.259498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87716307--0.87719372) × R
    3.06499999999099e-05 × 6371000     		dl = 195.271149999426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87716307--0.87719372) × R
    3.06499999999099e-05 × 6371000     		dr = 195.271149999426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36096485--0.36091692) × cos(-0.87716307) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639335109564141 × 6371000     		do = 195.228666906898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36096485--0.36091692) × cos(-0.87719372) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639311541613696 × 6371000     		du = 195.221470149707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87716307)-sin(-0.87719372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639335109564141-0.639311541613696)×R²
    abs(-0.36091692--0.36096485)×2.35679504446695e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35679504446695e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35679504446695e-05×40589641000000     		ar = 38121.8236432339m²