Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58006 / 28290
↖ ↑ ↗
← N 70.957905°
W 20.681762°		 ← 99.63 m → N 70.957905°
W 20.679016°		 →
↑
99.64 m
↓
↑
99.64 m
↓
N 70.957009°
W 20.681762°		 ← 99.63 m →
9 927 m²		 N 70.957009°
W 20.679016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442554473876953 y=0.215839385986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442554473876953 × 217)
    floor (0.442554473876953 × 131072)
    floor (58006.5)     		tx = 58006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215839385986328 × 217)
    floor (0.215839385986328 × 131072)
    floor (28290.5)     		ty = 28290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58006 / 28290 ti = "17/58006/28290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58006/28290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58006 ÷ 217
    58006 ÷ 131072     		x = 0.442550659179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28290 ÷ 217
    28290 ÷ 131072     		y = 0.215835571289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442550659179688 × 2 - 1) × π
    -0.114898681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36096485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215835571289062 × 2 - 1) × π
    0.568328857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.78545776324861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36096485} λ = -0.36096485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78545776324861))-π/2
    2×atan(5.96230864876166)-π/2
    2×1.40462269996377-π/2
    2.80924539992754-1.57079632675     		φ = 1.23844907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36096485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.681762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23844907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.957905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58006 KachelY 28290 -0.36096485 1.23844907 -20.681762 70.957905
    Oben rechts KachelX + 1 58007 KachelY 28290 -0.36091692 1.23844907 -20.679016 70.957905
    Unten links KachelX 58006 KachelY + 1 28291 -0.36096485 1.23843343 -20.681762 70.957009
    Unten rechts KachelX + 1 58007 KachelY + 1 28291 -0.36091692 1.23843343 -20.679016 70.957009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23844907-1.23843343) × R
    1.56399999999834e-05 × 6371000     		dl = 99.6424399998945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23844907-1.23843343) × R
    1.56399999999834e-05 × 6371000     		dr = 99.6424399998945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36096485--0.36091692) × cos(1.23844907) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.326262737999196 × 6371000     		do = 99.6282519888536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36096485--0.36091692) × cos(1.23843343) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.32627752212482 × 6371000     		du = 99.632766499466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23844907)-sin(1.23843343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326262737999196-0.32627752212482)×R²
    abs(-0.36091692--0.36096485)×1.47841256243897e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.47841256243897e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.47841256243897e-05×40589641000000     		ar = 9927.42703966492m²