Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58005 / 81774
↖ ↑ ↗
← S 40.676472°
W 20.684509°		 ← 231.64 m → S 40.676472°
W 20.681762°		 →
↑
231.59 m
↓
↑
231.59 m
↓
S 40.678555°
W 20.684509°		 ← 231.63 m →
53 643 m²		 S 40.678555°
W 20.681762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442546844482422 y=0.623889923095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442546844482422 × 217)
    floor (0.442546844482422 × 131072)
    floor (58005.5)     		tx = 58005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623889923095703 × 217)
    floor (0.623889923095703 × 131072)
    floor (81774.5)     		ty = 81774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58005 / 81774 ti = "17/58005/81774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58005/81774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58005 ÷ 217
    58005 ÷ 131072     		x = 0.442543029785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81774 ÷ 217
    81774 ÷ 131072     		y = 0.623886108398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442543029785156 × 2 - 1) × π
    -0.114913940429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.36101279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623886108398438 × 2 - 1) × π
    -0.247772216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.778399376030472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36101279} λ = -0.36101279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.778399376030472))-π/2
    2×atan(0.459140334485559)-π/2
    2×0.430428980036869-π/2
    0.860857960073738-1.57079632675     		φ = -0.70993837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36101279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.684509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70993837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.676472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58005 KachelY 81774 -0.36101279 -0.70993837 -20.684509 -40.676472
    Oben rechts KachelX + 1 58006 KachelY 81774 -0.36096485 -0.70993837 -20.681762 -40.676472
    Unten links KachelX 58005 KachelY + 1 81775 -0.36101279 -0.70997472 -20.684509 -40.678555
    Unten rechts KachelX + 1 58006 KachelY + 1 81775 -0.36096485 -0.70997472 -20.681762 -40.678555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70993837--0.70997472) × R
    3.63499999999073e-05 × 6371000     		dl = 231.585849999409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70993837--0.70997472) × R
    3.63499999999073e-05 × 6371000     		dr = 231.585849999409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36101279--0.36096485) × cos(-0.70993837) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.758402047065564 × 6371000     		do = 231.635506442363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36101279--0.36096485) × cos(-0.70997472) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.758378354105911 × 6371000     		du = 231.628270002628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70993837)-sin(-0.70997472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758402047065564-0.758378354105911)×R²
    abs(-0.36096485--0.36101279)×2.36929596526547e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36929596526547e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36929596526547e-05×40589641000000     		ar = 53642.6677267273m²