Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58004 / 86740
↖ ↑ ↗
← S 50.212065°
W 20.687256°		 ← 195.46 m → S 50.212065°
W 20.684509°		 →
↑
195.46 m
↓
↑
195.46 m
↓
S 50.213822°
W 20.687256°		 ← 195.45 m →
38 204 m²		 S 50.213822°
W 20.684509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442539215087891 y=0.661777496337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442539215087891 × 217)
    floor (0.442539215087891 × 131072)
    floor (58004.5)     		tx = 58004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661777496337891 × 217)
    floor (0.661777496337891 × 131072)
    floor (86740.5)     		ty = 86740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58004 / 86740 ti = "17/58004/86740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58004/86740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58004 ÷ 217
    58004 ÷ 131072     		x = 0.442535400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86740 ÷ 217
    86740 ÷ 131072     		y = 0.661773681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442535400390625 × 2 - 1) × π
    -0.11492919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36106073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661773681640625 × 2 - 1) × π
    -0.32354736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.01645401954367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36106073} λ = -0.36106073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01645401954367))-π/2
    2×atan(0.36187587252192)-π/2
    2×0.347215238875725-π/2
    0.69443047775145-1.57079632675     		φ = -0.87636585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36106073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.687256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87636585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.212065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58004 KachelY 86740 -0.36106073 -0.87636585 -20.687256 -50.212065
    Oben rechts KachelX + 1 58005 KachelY 86740 -0.36101279 -0.87636585 -20.684509 -50.212065
    Unten links KachelX 58004 KachelY + 1 86741 -0.36106073 -0.87639653 -20.687256 -50.213822
    Unten rechts KachelX + 1 58005 KachelY + 1 86741 -0.36101279 -0.87639653 -20.684509 -50.213822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87636585--0.87639653) × R
    3.06799999999496e-05 × 6371000     		dl = 195.462279999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87636585--0.87639653) × R
    3.06799999999496e-05 × 6371000     		dr = 195.462279999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36106073--0.36101279) × cos(-0.87636585) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.639947911292213 × 6371000     		do = 195.456564367977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36106073--0.36101279) × cos(-0.87639653) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.639924335917851 × 6371000     		du = 195.449363841816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87636585)-sin(-0.87639653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639947911292213-0.639924335917851)×R²
    abs(-0.36101279--0.36106073)×2.35753743613731e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35753743613731e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35753743613731e-05×40589641000000     		ar = 38203.6819997404m²