Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58004 / 81907
↖ ↑ ↗
← S 40.952937°
W 20.687256°		 ← 230.67 m → S 40.952937°
W 20.684509°		 →
↑
230.63 m
↓
↑
230.63 m
↓
S 40.955011°
W 20.687256°		 ← 230.66 m →
53 199 m²		 S 40.955011°
W 20.684509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442539215087891 y=0.624904632568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442539215087891 × 217)
    floor (0.442539215087891 × 131072)
    floor (58004.5)     		tx = 58004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624904632568359 × 217)
    floor (0.624904632568359 × 131072)
    floor (81907.5)     		ty = 81907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58004 / 81907 ti = "17/58004/81907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58004/81907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58004 ÷ 217
    58004 ÷ 131072     		x = 0.442535400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81907 ÷ 217
    81907 ÷ 131072     		y = 0.624900817871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442535400390625 × 2 - 1) × π
    -0.11492919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36106073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624900817871094 × 2 - 1) × π
    -0.249801635742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.784774983679939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36106073} λ = -0.36106073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.784774983679939))-π/2
    2×atan(0.456222347710513)-π/2
    2×0.428016368796191-π/2
    0.856032737592382-1.57079632675     		φ = -0.71476359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36106073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.687256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71476359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.952937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58004 KachelY 81907 -0.36106073 -0.71476359 -20.687256 -40.952937
    Oben rechts KachelX + 1 58005 KachelY 81907 -0.36101279 -0.71476359 -20.684509 -40.952937
    Unten links KachelX 58004 KachelY + 1 81908 -0.36106073 -0.71479979 -20.687256 -40.955011
    Unten rechts KachelX + 1 58005 KachelY + 1 81908 -0.36101279 -0.71479979 -20.684509 -40.955011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71476359--0.71479979) × R
    3.62000000000418e-05 × 6371000     		dl = 230.630200000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71476359--0.71479979) × R
    3.62000000000418e-05 × 6371000     		dr = 230.630200000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36106073--0.36101279) × cos(-0.71476359) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.755248214622628 × 6371000     		do = 230.672244834911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36106073--0.36101279) × cos(-0.71479979) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.755224487240078 × 6371000     		du = 230.664997881537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71476359)-sin(-0.71479979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755248214622628-0.755224487240078)×R²
    abs(-0.36101279--0.36106073)×2.37273825501871e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37273825501871e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37273825501871e-05×40589641000000     		ar = 53199.1502834279m²