Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58004 / 38554
↖ ↑ ↗
← N 59.319178°
W 20.687256°		 ← 155.85 m → N 59.319178°
W 20.684509°		 →
↑
155.83 m
↓
↑
155.83 m
↓
N 59.317776°
W 20.687256°		 ← 155.85 m →
24 287 m²		 N 59.317776°
W 20.684509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442539215087891 y=0.294147491455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442539215087891 × 217)
    floor (0.442539215087891 × 131072)
    floor (58004.5)     		tx = 58004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294147491455078 × 217)
    floor (0.294147491455078 × 131072)
    floor (38554.5)     		ty = 38554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58004 / 38554 ti = "17/58004/38554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58004/38554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58004 ÷ 217
    58004 ÷ 131072     		x = 0.442535400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38554 ÷ 217
    38554 ÷ 131072     		y = 0.294143676757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442535400390625 × 2 - 1) × π
    -0.11492919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36106073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294143676757812 × 2 - 1) × π
    0.411712646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29343342554836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36106073} λ = -0.36106073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29343342554836))-π/2
    2×atan(3.64528089484254)-π/2
    2×1.30305564396405-π/2
    2.6061112879281-1.57079632675     		φ = 1.03531496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36106073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.687256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03531496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.319178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58004 KachelY 38554 -0.36106073 1.03531496 -20.687256 59.319178
    Oben rechts KachelX + 1 58005 KachelY 38554 -0.36101279 1.03531496 -20.684509 59.319178
    Unten links KachelX 58004 KachelY + 1 38555 -0.36106073 1.03529050 -20.687256 59.317776
    Unten rechts KachelX + 1 58005 KachelY + 1 38555 -0.36101279 1.03529050 -20.684509 59.317776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03531496-1.03529050) × R
    2.44600000001149e-05 × 6371000     		dl = 155.834660000732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03531496-1.03529050) × R
    2.44600000001149e-05 × 6371000     		dr = 155.834660000732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36106073--0.36101279) × cos(1.03531496) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.510255085096878 × 6371000     		do = 155.845036954555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36106073--0.36101279) × cos(1.03529050) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.510276121109483 × 6371000     		du = 155.851461894272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03531496)-sin(1.03529050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510255085096878-0.510276121109483)×R²
    abs(-0.36101279--0.36106073)×2.1036012605169e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.1036012605169e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.1036012605169e-05×40589641000000     		ar = 24286.5589618632m²