Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58003 / 86763
↖ ↑ ↗
← S 50.252474°
W 20.690002°		 ← 195.25 m → S 50.252474°
W 20.687256°		 →
↑
195.27 m
↓
↑
195.27 m
↓
S 50.254230°
W 20.690002°		 ← 195.24 m →
38 126 m²		 S 50.254230°
W 20.687256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442531585693359 y=0.661952972412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442531585693359 × 217)
    floor (0.442531585693359 × 131072)
    floor (58003.5)     		tx = 58003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661952972412109 × 217)
    floor (0.661952972412109 × 131072)
    floor (86763.5)     		ty = 86763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58003 / 86763 ti = "17/58003/86763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58003/86763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58003 ÷ 217
    58003 ÷ 131072     		x = 0.442527770996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86763 ÷ 217
    86763 ÷ 131072     		y = 0.661949157714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442527770996094 × 2 - 1) × π
    -0.114944458007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.36110866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661949157714844 × 2 - 1) × π
    -0.323898315429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.01755656823493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36110866} λ = -0.36110866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01755656823493))-π/2
    2×atan(0.361477106622078)-π/2
    2×0.346862601440125-π/2
    0.693725202880249-1.57079632675     		φ = -0.87707112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36110866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.690002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87707112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.252474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58003 KachelY 86763 -0.36110866 -0.87707112 -20.690002 -50.252474
    Oben rechts KachelX + 1 58004 KachelY 86763 -0.36106073 -0.87707112 -20.687256 -50.252474
    Unten links KachelX 58003 KachelY + 1 86764 -0.36110866 -0.87710177 -20.690002 -50.254230
    Unten rechts KachelX + 1 58004 KachelY + 1 86764 -0.36106073 -0.87710177 -20.687256 -50.254230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87707112--0.87710177) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dl = 195.271150000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87707112--0.87710177) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dr = 195.271150000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36110866--0.36106073) × cos(-0.87707112) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639405809811752 × 6371000     		do = 195.25025607803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36110866--0.36106073) × cos(-0.87710177) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639382243663191 × 6371000     		du = 195.243059871066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87707112)-sin(-0.87710177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639405809811752-0.639382243663191)×R²
    abs(-0.36106073--0.36110866)×2.35661485610272e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35661485610272e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35661485610272e-05×40589641000000     		ar = 38126.0394393288m²