Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58002 / 86786
↖ ↑ ↗
← S 50.292849°
W 20.692749°		 ← 195.13 m → S 50.292849°
W 20.690002°		 →
↑
195.14 m
↓
↑
195.14 m
↓
S 50.294604°
W 20.692749°		 ← 195.12 m →
38 077 m²		 S 50.294604°
W 20.690002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442523956298828 y=0.662128448486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442523956298828 × 217)
    floor (0.442523956298828 × 131072)
    floor (58002.5)     		tx = 58002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662128448486328 × 217)
    floor (0.662128448486328 × 131072)
    floor (86786.5)     		ty = 86786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58002 / 86786 ti = "17/58002/86786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58002/86786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58002 ÷ 217
    58002 ÷ 131072     		x = 0.442520141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86786 ÷ 217
    86786 ÷ 131072     		y = 0.662124633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442520141601562 × 2 - 1) × π
    -0.114959716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36115660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662124633789062 × 2 - 1) × π
    -0.324249267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.01865911692619
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36115660} λ = -0.36115660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01865911692619))-π/2
    2×atan(0.361078780138773)-π/2
    2×0.34651026281421-π/2
    0.69302052562842-1.57079632675     		φ = -0.87777580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36115660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.692749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87777580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.292849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58002 KachelY 86786 -0.36115660 -0.87777580 -20.692749 -50.292849
    Oben rechts KachelX + 1 58003 KachelY 86786 -0.36110866 -0.87777580 -20.690002 -50.292849
    Unten links KachelX 58002 KachelY + 1 86787 -0.36115660 -0.87780643 -20.692749 -50.294604
    Unten rechts KachelX + 1 58003 KachelY + 1 86787 -0.36110866 -0.87780643 -20.690002 -50.294604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87777580--0.87780643) × R
    3.06300000000315e-05 × 6371000     		dl = 195.1437300002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87777580--0.87780643) × R
    3.06300000000315e-05 × 6371000     		dr = 195.1437300002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36115660--0.36110866) × cos(-0.87777580) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.63886384418597 × 6371000     		do = 195.125462369617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36115660--0.36110866) × cos(-0.87780643) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.638840279620135 × 6371000     		du = 195.118265144659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87777580)-sin(-0.87780643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63886384418597-0.638840279620135)×R²
    abs(-0.36110866--0.36115660)×2.3564565835632e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3564565835632e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3564565835632e-05×40589641000000     		ar = 38076.8083011698m²