Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58001 / 81779
↖ ↑ ↗
← S 40.686886°
W 20.695496°		 ← 231.60 m → S 40.686886°
W 20.692749°		 →
↑
231.59 m
↓
↑
231.59 m
↓
S 40.688969°
W 20.695496°		 ← 231.59 m →
53 634 m²		 S 40.688969°
W 20.692749°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442516326904297 y=0.623928070068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442516326904297 × 217)
    floor (0.442516326904297 × 131072)
    floor (58001.5)     		tx = 58001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623928070068359 × 217)
    floor (0.623928070068359 × 131072)
    floor (81779.5)     		ty = 81779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58001 / 81779 ti = "17/58001/81779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58001/81779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58001 ÷ 217
    58001 ÷ 131072     		x = 0.442512512207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81779 ÷ 217
    81779 ÷ 131072     		y = 0.623924255371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442512512207031 × 2 - 1) × π
    -0.114974975585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.36120454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623924255371094 × 2 - 1) × π
    -0.247848510742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.778639060528572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36120454} λ = -0.36120454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.778639060528572))-π/2
    2×atan(0.459030298852374)-π/2
    2×0.430338098529196-π/2
    0.860676197058392-1.57079632675     		φ = -0.71012013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36120454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.695496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71012013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.686886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58001 KachelY 81779 -0.36120454 -0.71012013 -20.695496 -40.686886
    Oben rechts KachelX + 1 58002 KachelY 81779 -0.36115660 -0.71012013 -20.692749 -40.686886
    Unten links KachelX 58001 KachelY + 1 81780 -0.36120454 -0.71015648 -20.695496 -40.688969
    Unten rechts KachelX + 1 58002 KachelY + 1 81780 -0.36115660 -0.71015648 -20.692749 -40.688969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71012013--0.71015648) × R
    3.63500000000183e-05 × 6371000     		dl = 231.585850000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71012013--0.71015648) × R
    3.63500000000183e-05 × 6371000     		dr = 231.585850000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36120454--0.36115660) × cos(-0.71012013) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.758283565727741 × 6371000     		do = 231.59931919235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36120454--0.36115660) × cos(-0.71015648) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.758259867757814 × 6371000     		du = 231.592081222349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71012013)-sin(-0.71015648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758283565727741-0.758259867757814)×R²
    abs(-0.36115660--0.36120454)×2.36979699271833e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36979699271833e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36979699271833e-05×40589641000000     		ar = 53634.2870948268m²