Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 580 / 570
↖ ↑ ↗
← S 19.973349°
E 23.906250°		 ← 36.741 km → S 19.973349°
E 24.257813°		 →
↑
36.702 km
↓
↑
36.702 km
↓
S 20.303418°
E 23.906250°		 ← 36.663 km →
1 347.04 km²		 S 20.303418°
E 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56689453125 y=0.55712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56689453125 × 210)
    floor (0.56689453125 × 1024)
    floor (580.5)     		tx = 580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55712890625 × 210)
    floor (0.55712890625 × 1024)
    floor (570.5)     		ty = 570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 580 / 570 ti = "10/580/570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/580/570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 580 ÷ 210
    580 ÷ 1024     		x = 0.56640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 570 ÷ 210
    570 ÷ 1024     		y = 0.556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56640625 × 2 - 1) × π
    0.1328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41724277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.556640625 × 2 - 1) × π
    -0.11328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.355883542779297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41724277} λ = 0.41724277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.355883542779297))-π/2
    2×atan(0.700554200079972)-π/2
    2×0.611097813918807-π/2
    1.22219562783761-1.57079632675     		φ = -0.34860070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41724277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34860070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.973349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 580 KachelY 570 0.41724277 -0.34860070 23.906250 -19.973349
    Oben rechts KachelX + 1 581 KachelY 570 0.42337870 -0.34860070 24.257813 -19.973349
    Unten links KachelX 580 KachelY + 1 571 0.41724277 -0.35436149 23.906250 -20.303418
    Unten rechts KachelX + 1 581 KachelY + 1 571 0.42337870 -0.35436149 24.257813 -20.303418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34860070--0.35436149) × R
    0.00576079000000002 × 6371000     		dl = 36701.9930900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34860070--0.35436149) × R
    0.00576079000000002 × 6371000     		dr = 36701.9930900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41724277-0.42337870) × cos(-0.34860070) × R
    0.00613593000000001 × 0.939851609928014 × 6371000     		do = 36740.6885620177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41724277-0.42337870) × cos(-0.35436149) × R
    0.00613593000000001 × 0.93786823759148 × 6371000     		du = 36663.1545507446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34860070)-sin(-0.35436149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939851609928014-0.93786823759148)×R²
    abs(0.42337870-0.41724277)×0.00198337233653467×R²
    0.00613593000000001×0.00198337233653467×6371000²
    0.00613593000000001×0.00198337233653467×40589641000000     		ar = 1347037396.66474m²