Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57997 / 81673
↖ ↑ ↗
← S 40.465756°
W 20.706482°		 ← 232.37 m → S 40.465756°
W 20.703735°		 →
↑
232.29 m
↓
↑
232.29 m
↓
S 40.467845°
W 20.706482°		 ← 232.36 m →
53 975 m²		 S 40.467845°
W 20.703735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442485809326172 y=0.623119354248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442485809326172 × 217)
    floor (0.442485809326172 × 131072)
    floor (57997.5)     		tx = 57997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623119354248047 × 217)
    floor (0.623119354248047 × 131072)
    floor (81673.5)     		ty = 81673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57997 / 81673 ti = "17/57997/81673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57997/81673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57997 ÷ 217
    57997 ÷ 131072     		x = 0.442481994628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81673 ÷ 217
    81673 ÷ 131072     		y = 0.623115539550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442481994628906 × 2 - 1) × π
    -0.115036010742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.36139629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623115539550781 × 2 - 1) × π
    -0.246231079101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.773557749168846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36139629} λ = -0.36139629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.773557749168846))-π/2
    2×atan(0.461368710792542)-π/2
    2×0.432267825673524-π/2
    0.864535651347047-1.57079632675     		φ = -0.70626068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36139629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.706482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70626068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.465756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57997 KachelY 81673 -0.36139629 -0.70626068 -20.706482 -40.465756
    Oben rechts KachelX + 1 57998 KachelY 81673 -0.36134835 -0.70626068 -20.703735 -40.465756
    Unten links KachelX 57997 KachelY + 1 81674 -0.36139629 -0.70629714 -20.706482 -40.467845
    Unten rechts KachelX + 1 57998 KachelY + 1 81674 -0.36134835 -0.70629714 -20.703735 -40.467845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70626068--0.70629714) × R
    3.64600000000159e-05 × 6371000     		dl = 232.286660000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70626068--0.70629714) × R
    3.64600000000159e-05 × 6371000     		dr = 232.286660000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36139629--0.36134835) × cos(-0.70626068) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.76079398347035 × 6371000     		do = 232.366065389096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36139629--0.36134835) × cos(-0.70629714) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.760770320663029 × 6371000     		du = 232.35883815866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70626068)-sin(-0.70629714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76079398347035-0.760770320663029)×R²
    abs(-0.36134835--0.36139629)×2.36628073210232e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36628073210232e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36628073210232e-05×40589641000000     		ar = 53974.697837931m²