Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57995 / 86754
↖ ↑ ↗
← S 50.236666°
W 20.711975°		 ← 195.36 m → S 50.236666°
W 20.709228°		 →
↑
195.33 m
↓
↑
195.33 m
↓
S 50.238422°
W 20.711975°		 ← 195.35 m →
38 159 m²		 S 50.238422°
W 20.709228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442470550537109 y=0.661884307861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442470550537109 × 217)
    floor (0.442470550537109 × 131072)
    floor (57995.5)     		tx = 57995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661884307861328 × 217)
    floor (0.661884307861328 × 131072)
    floor (86754.5)     		ty = 86754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57995 / 86754 ti = "17/57995/86754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57995/86754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57995 ÷ 217
    57995 ÷ 131072     		x = 0.442466735839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86754 ÷ 217
    86754 ÷ 131072     		y = 0.661880493164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442466735839844 × 2 - 1) × π
    -0.115066528320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.36149216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661880493164062 × 2 - 1) × π
    -0.323760986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.01712513613835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36149216} λ = -0.36149216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01712513613835))-π/2
    2×atan(0.361633093094419)-π/2
    2×0.347000554411539-π/2
    0.694001108823077-1.57079632675     		φ = -0.87679522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36149216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.711975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87679522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.236666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57995 KachelY 86754 -0.36149216 -0.87679522 -20.711975 -50.236666
    Oben rechts KachelX + 1 57996 KachelY 86754 -0.36144422 -0.87679522 -20.709228 -50.236666
    Unten links KachelX 57995 KachelY + 1 86755 -0.36149216 -0.87682588 -20.711975 -50.238422
    Unten rechts KachelX + 1 57996 KachelY + 1 86755 -0.36144422 -0.87682588 -20.709228 -50.238422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87679522--0.87682588) × R
    3.06599999999602e-05 × 6371000     		dl = 195.334859999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87679522--0.87682588) × R
    3.06599999999602e-05 × 6371000     		dr = 195.334859999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36149216--0.36144422) × cos(-0.87679522) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.639617916550547 × 6371000     		do = 195.355775479807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36149216--0.36144422) × cos(-0.87682588) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.639594348122687 × 6371000     		du = 195.348577075287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87679522)-sin(-0.87682588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639617916550547-0.639594348122687)×R²
    abs(-0.36144422--0.36149216)×2.356842786011e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.356842786011e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.356842786011e-05×40589641000000     		ar = 38159.0900068684m²