Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57994 / 81683
↖ ↑ ↗
← S 40.486649°
W 20.714722°		 ← 232.29 m → S 40.486649°
W 20.711975°		 →
↑
232.29 m
↓
↑
232.29 m
↓
S 40.488738°
W 20.714722°		 ← 232.29 m →
53 958 m²		 S 40.488738°
W 20.711975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442462921142578 y=0.623195648193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442462921142578 × 217)
    floor (0.442462921142578 × 131072)
    floor (57994.5)     		tx = 57994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623195648193359 × 217)
    floor (0.623195648193359 × 131072)
    floor (81683.5)     		ty = 81683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57994 / 81683 ti = "17/57994/81683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57994/81683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57994 ÷ 217
    57994 ÷ 131072     		x = 0.442459106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81683 ÷ 217
    81683 ÷ 131072     		y = 0.623191833496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442459106445312 × 2 - 1) × π
    -0.115081787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36154010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623191833496094 × 2 - 1) × π
    -0.246383666992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.774037118165047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36154010} λ = -0.36154010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.774037118165047))-π/2
    2×atan(0.461147597938328)-π/2
    2×0.432085503515123-π/2
    0.864171007030246-1.57079632675     		φ = -0.70662532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36154010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.714722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70662532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.486649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57994 KachelY 81683 -0.36154010 -0.70662532 -20.714722 -40.486649
    Oben rechts KachelX + 1 57995 KachelY 81683 -0.36149216 -0.70662532 -20.711975 -40.486649
    Unten links KachelX 57994 KachelY + 1 81684 -0.36154010 -0.70666178 -20.714722 -40.488738
    Unten rechts KachelX + 1 57995 KachelY + 1 81684 -0.36149216 -0.70666178 -20.711975 -40.488738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70662532--0.70666178) × R
    3.64600000000159e-05 × 6371000     		dl = 232.286660000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70662532--0.70666178) × R
    3.64600000000159e-05 × 6371000     		dr = 232.286660000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36154010--0.36149216) × cos(-0.70662532) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.760557283920861 × 6371000     		do = 232.293771253767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36154010--0.36149216) × cos(-0.70666178) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.760533611000686 × 6371000     		du = 232.286540934604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70662532)-sin(-0.70666178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760557283920861-0.760533611000686)×R²
    abs(-0.36149216--0.36154010)×2.36729201747998e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36729201747998e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36729201747998e-05×40589641000000     		ar = 53957.9045159094m²