Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57993 / 44509
↖ ↑ ↗
← N 49.899942°
W 20.717468°		 ← 196.69 m → N 49.899942°
W 20.714722°		 →
↑
196.74 m
↓
↑
196.74 m
↓
N 49.898173°
W 20.717468°		 ← 196.70 m →
38 697 m²		 N 49.898173°
W 20.714722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442455291748047 y=0.339580535888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442455291748047 × 217)
    floor (0.442455291748047 × 131072)
    floor (57993.5)     		tx = 57993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339580535888672 × 217)
    floor (0.339580535888672 × 131072)
    floor (44509.5)     		ty = 44509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57993 / 44509 ti = "17/57993/44509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57993/44509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57993 ÷ 217
    57993 ÷ 131072     		x = 0.442451477050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44509 ÷ 217
    44509 ÷ 131072     		y = 0.339576721191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442451477050781 × 2 - 1) × π
    -0.115097045898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.36158803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339576721191406 × 2 - 1) × π
    0.320846557617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.00796918831092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36158803} λ = -0.36158803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00796918831092))-π/2
    2×atan(2.74003087424992)-π/2
    2×1.2208573065681-π/2
    2.4417146131362-1.57079632675     		φ = 0.87091829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36158803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.717468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87091829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.899942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57993 KachelY 44509 -0.36158803 0.87091829 -20.717468 49.899942
    Oben rechts KachelX + 1 57994 KachelY 44509 -0.36154010 0.87091829 -20.714722 49.899942
    Unten links KachelX 57993 KachelY + 1 44510 -0.36158803 0.87088741 -20.717468 49.898173
    Unten rechts KachelX + 1 57994 KachelY + 1 44510 -0.36154010 0.87088741 -20.714722 49.898173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87091829-0.87088741) × R
    3.08799999999554e-05 × 6371000     		dl = 196.736479999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87091829-0.87088741) × R
    3.08799999999554e-05 × 6371000     		dr = 196.736479999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36158803--0.36154010) × cos(0.87091829) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.644124399841986 × 6371000     		do = 196.691134308401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36158803--0.36154010) × cos(0.87088741) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.644148020287708 × 6371000     		du = 196.698347095656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87091829)-sin(0.87088741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644124399841986-0.644148020287708)×R²
    abs(-0.36154010--0.36158803)×2.36204457215727e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36204457215727e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36204457215727e-05×40589641000000     		ar = 38697.0309233117m²